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第一章 初等积分法 1

1 例子与概念 1

2 典型方程的解法 9

2.1 变量可分离方程 10

2.2 齐次方程 11

2.3 可化为齐次方程的方程 13

2.4 一阶线性方程 15

2.5 伯努利方程 18

2.6 恰当方程 19

3.1 引进适当变换 22

3 解题的灵活性 22

3.2 交换x与y的地位 25

3.3 改变方程形式 25

3.4 寻找积分因子 26

4 一阶隐方程，高阶方程与里卡蒂方程 30

4.1 一阶隐方程 30

4.2 高阶方程的几种可积类型 35

4.3 里卡蒂方程 39

第二章 线性方程 42

1 引言 42

2 解的存在性与唯一性 44

3 （LH）的通解的结构 47

4 （NH）的通解的结构 51

5 边值问题和周期解 53

6 高阶线性方程 56

6.1 通解的结构 56

6.2 边值问题和周期解＊ 59

7 线性微分方程的一些求解方法 63

7.1 适当的变换 64

7.2 幂级数解法 67

8 线性方程的复值解 71

1 常系数齐次线性方程的解法 73

第三章 常系数线性方程 73

2 常系数齐次线性方程组的解法 77

2.1 矩阵指数函数eAt 77

2.2 基本解矩阵的结构 79

2.3 待定系数法 82

3 算子解法与拉氏变换法 87

3.1 算子解法 87

3.2 拉氏变换法＊ 92

第四章 一般理论 97

1 引言 97

2.1 皮卡定理 98

2 皮卡存在与唯一性定理 98

2.2 唯一性条件的推广＊ 100

2.3 解的整体唯一性 102

2.4 不唯一的情形，奇解 102

3 佩亚诺存在定理 105

3.1 欧拉折线 105

3.2 阿尔采拉-阿斯科利引理 108

3.3 佩亚诺定理的证明 110

4 柯西存在与唯一性定理 113

4.1 优级数与优函数 113

4.2 柯西定理及其证明 115

5 解的延展与解的整体存在性 117

5.1 解的延展 117

5.2 解的整体存在性＊ 123

6 解对初值与参数的连续性 125

7 解对初值与参数的可微性 130

8 对于n阶方程的推论 135

9 解非线性方程的连续性方法 137

9.1 古典牛顿法 137

9.2 一般的连续性方法 139

1.1 李雅普诺夫稳定性 141

1 解的稳定性 141

第五章 定性理论 141

1.2 按第一近似决定稳定性 143

1.3 李雅普诺夫第二方法 146

2 一般定性理论的概念 150

2.1 相空间，轨线，动力系统 150

2.2 奇点，闭轨，极限集 152

3 平面动力系统 155

3.1 奇点 155

3.2 极限环 160

4.1 结构稳定性与分支现象 163

4 结构稳定性，分支与浑沌＊ 163

4.2 动力系统的浑沌 166

5 首次积分 169

6 守恒系统＊ 172

第六章 一阶偏微分方程 177

1 引言 177

2 一阶齐次线性偏微分方程 181

3 一阶拟线性偏微分方程 185

4 广义解的概念＊ 189

参考文献 194

索引 196