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目 录 1

第一章数学的发现 1

§1.1“华、王方法”发现的前前后后 2

1．背景 2

2．“华罗庚说，被王元拉上了一条路” 3

3．“华罗庚在数学上最强的是直觉…”从而牢牢地掌握研究的 3

大方向 3

4．创新——用模拟方法解决问题 5

1．早慧勤思的哈密顿（Hamilton） 6

§1.2“四元数”的发现 6

5．尾声——完满的成果 6

2．踏着复数的肩膀前进 7

3．山穷水尽疑无路 8

4．柳岸花明又一村 9

5．应用 11

第二章数学发现的思维方法 13

§2.1“联想”与“类比” 14

1．什么叫“联想”与“类比”？ 14

2．“联想”与“类比”在科学研究中的作用 14

3．“联想”与“类比”在数学教学中的作用 18

4．“类比”方法的局限性 29

§2.2归纳法 30

1．什么是归纳法？ 30

2．归纳法在科学研究中的作用 30

3．归纳法在数学教学中的作用 31

4．归纳法的局限性 39

§2.3对称 40

1．什么是对称？ 40

2．对称思维在科学研究中的作用 41

3．对称思维在数学教学中的作用 42

4．结束语 51

§2.4几何直观 52

1．什么叫几何直观？ 52

2．几何直观思维在科学研究中的作用 52

3．几何直观思维在数学教学中的作用 55

4．几何直观的局限性 71

第三章数学猜想 73

§3.1哥德巴赫（Goldbach）猜想 73

1．概述 73

2．求解的思路 75

3．正确认识“猜想”的研究 84

1．费尔马猜想的来源 87

§3.2费尔马（Fermat）猜想 87

2．求解方法 88

3．辉煌的成果——威尔斯（Wiles）的工作 92

§3.3关于不相交斯坦纳（Steiner）三元系大集定理 93

1．实际背景 94

2．定理中的一些概念及证明进展 96

3．陆家羲的精巧构思 99

§3.4吉尔伯特—波雷克（Gilbert—Pollak）猜想 101

1．概述 102

2．堵—黄方法的基本思想 106

1．概述 109

§3.5 比贝尔巴赫（Bieberbach）猜想 109

2．研究进展 110

3．证明思路 112

第四章 数学家的足迹——华罗庚迅速成长因素分析初步 114

§4.1宝贵的治学经验，最强的直觉思维 114

§4.2努力学习唯物辩证法，掌握研究数学规律 119

§4.3严师出高徒 120

§4.4环境的造就：天时，地利，人和 121

第五章数学常数——π、e、0.618和F 124

§5.1 π与“外推法” 125

§5.2 e与人口预测 131

§5.3 0.618与“优选法” 135

§5.4 F与“混沌” 139

第六章我国古代数学思想特色 143

§6.1“经世致用” 144

§6.2形数结合 144

§6.3使用算器，以算为主 147

第七章我国现代数学的迅速崛起 158

§7.1 我国现代数学刚刚起步 158

§7.2我国现代数学迅速发展 160

§7.3我国现代数学处于“黄金时代” 164

1…现代数学走向更加高度的抽象与统一 174

第八章现代数学的特点和发展趋势 174

§8.1现代数学的特点 174

2．数学内部各分支的相互渗透且渗透到数学之外各个领域 177

3…电子计算机正在改变数学的面貌 179

§8.2现代数学的发展趋势展望 181

1．非线性的问题研究将有大发展 181

2．离散数学的研究将有大发展 181

3．概率论与数理统计的作用将不断扩大 182

4．计算机数学将会更大发展 183

5．数学对生物学、经济学、语言学、管理学等将进一步加强 183