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数学是什么？ 1

第一章　自然数 7

引言 7

1　整数的计算 8

1．算术的规律 8

2．整数的表示 12

3．非十进位制中的计算 15

1．数学归纳法原理 19

2　数系的无限性　数学归纳法 19

2．等差级数 22

3．等比级数 24

4．前n项平方和 25

5．一个重要的不等式 27

6．二项式定理 28

7．再谈数学归纳法 31

第一章补充　数论 34

引言 34

1．基本事实 35

1　素数 35

2．素数的分布 40

2　同余 49

1．一般概念 49

2．费尔玛定理 55

3．二次剩余 57

3　毕达哥拉斯数和费尔玛“定理” 60

4　欧几里得辗转相除法 63

1．一般理论 63

2．在算术基本定理上的应用 69

3．欧拉函数？　再谈费尔玛定理 70

4．连分数　丢番都方程 72

第二章　数学中的数系 76

引言 76

1　有理数 76

1．作为度量工具的有理数 76

2．数学内部对有理数的需要推广的原则 79

3．有理数的几何解释 82

2　不可公度线段　无理数和极限概念 84

1．引言 84

2．十进位小数　无限小数 88

3．极限　无穷等比级数 91

4．有理数和循环小数 96

5．用区间套给出无理数的一般定义 98

6．定义无理数的另一个方法　戴特金分割 101

1．基本原理 103

3　解析几何概述 103

2．直线方程和曲线方程 105

4　无限的数学分析 109

1．基本概念 109

2．有理数的可数性和连续统的不可数性 111

3．康托的“基数” 117

4．反证法 120

5．有关无限的悖论 122

6．数学的基础 123

1．复数的起源 124

5　复数 124

2．复数的几何解释 128

3．棣莫弗公式和单位根 135

4．代数基本定理 139

6　代数数和超越数 142

1．定义和存在性 142

2．柳维尔定理和超越数的构造 143

第二章补充　集合代数 149

1．一般理论 149

2．在数理逻辑中的应用 154

3．在概率论中的一个应用 157

第三章　几何作图　数域的代数 160

引言 160

Ⅰ　不可能性的证明和代数 164

1　基本几何作图 164

1．域的构作和开平方根 164

2．正多边形 167

3．阿波罗尼斯问题 170

1．一般理论 172

2　可作图的数和数域 172

2．可作图的数都是代数数 181

3　三个不可解的希腊问题 183

1．倍立方体问题 183

2．关于三次方程的一个定理 185

3．三等分任意角 187

4．正七边形 189

5．关于化圆为方的问题 191

1．一般说明 192

Ⅱ　作图的各种方法 192

4　几何变换　反演 192

2．反演的性质 194

3．反演点的几何作图 196

4．只用圆规如何二等分一线段及求圆心 198

5　用其它工具作图　只用圆规的马歇罗尼作图 199

1．倍立方体的古典作图 199

2．只限于用圆规 200

3．用机械工具作图　机械曲线　旋轮线 206

4．连杆　波西里叶和哈特的反演器 209

6　再谈反演及其应用 212

1．角的不变性　圆族 212

2．在阿波罗尼斯问题上的应用 216

3．重复反射 217

第四章　射影几何　公理体系　非欧几里得几何 220

1 引言 220

1．几何性质的分类变　换下的不变性 220

2．射影变换 223

1．射影变换群 224

2　基本概念 224

2．笛沙格定理 226

3 交比 229

1．定义和不变性的证明 229

2．在完全四边形上的应用 237

4　平行性和无穷远 238

1．作为“理想点”的无穷远点 238

2．理想元素和射影 242

3．含有无穷远元素的交比 244

1．初步说明 245

5　应用 245

2．平面上笛沙格定理的证明 247

3．巴斯嘉定理 249

4．布利安桑定理 250

5．对偶性简介 251

6　解析表示 253

1．初步说明 253

2．齐次坐标　对偶性的代数基础 255

7　只用直尺的作图问题 259

1．二次曲线的初等度量几何 262

8　二次曲线和二次曲面 262

2．二次曲线的射影性质 265

3．二次曲线看作线曲线 270

4．关于二次曲线的巴斯嘉和布利安桑的一般定理 274

5．双曲面 277

9　公理体系和非欧几何 279

1．公理方法 279

2．双曲非欧几里得几何 284

3．几何与现实 289

4．庞加莱的模型 291

5．椭圆几何或黎曼几何 292

附录　高维空间中的几何学 294

1．引言 294

2．解析的方法 295

3．几何的方法或组合的方法 298

第五章　拓扑学 303

引言 303

1　多面体的欧拉公式 305

2　图形的拓扑性质 310

1．拓扑性质 310

2．连通性 312

3　拓扑定理的其它例子 314

1．若当曲线定理 314

2．四色问题 316

3．维的概念 318

4．不动点定理 323

5．纽结 327

1．曲面的亏格 328

4　曲面的拓扑分类 328

2．曲面的欧拉示性数 331

3．单侧曲面 333

附录 338

1．五色定理 338

2．多边形的若当曲线定理 341

3．代数基本定理 344

引言 348

第六章　函数和极限 348

1　变量和函数 349

Ⅰ．定义和例子 349

2．角的弧度制 355

3．函数的图象　反函数 356

4．复合函数 360

5．连续性 362

6．多元函数 365

7．函数和变换 369

1．序列an的极限 371

2　极限 371

2．单调序列 378

3．欧拉数e 381

4．数π 384

5．连分数 386

3　连续趋近的极限 390

1．引言　一般定义 390

2．极限概念的评述 392

3．sinx/x的极限 395

4．当x→∞时的极限 398

4　连续性的精确定义 400

5　有关连续函数的两个基本定理 403

1．布尔查诺定理 403

2．布尔查诺定理的证明 404

3．维尔斯特拉斯极值定理 405

4．有关序列的一个定理　紧致集 408

6 布尔查诺定理的一些应用 410

1．几何上的应用 410

2．力学问题上的一个应用 413

1．一般说明 416

第六章补充　极限和连续的一些例题 416

1　极限的例题 416

2．qn的极限 417

3．？的极限 418

4．不连续函数当作连续函数的极限 421

5．极限的叠代求法 422

2　连续性的例题 425

第七章　极大与极小 427

引言 427

1．两边给定求面积极大的三角形 428

1　初等几何中的问题 428

2．赫伦定理　光线的极值性质 429

3．三角形问题上的应用 432

4．椭圆和双曲线的切线性质　相应的极值性质 433

5．到给定曲线的距离的极值 437

2　基本极值问题的一般原则 440

1．原则 440

2．例题 442

1．极值和驻点 444

3　驻点与微分学 444

2．多元函数的极大和极小　鞍点 446

3．极小极大点和拓扑学 448

4．点到曲面的距离 449

4　施瓦茨的三角形问题 450

1．施瓦茨的证明 450

2．另一种证法 453

3．钝角三角形 456

4．由光线形成的三角形 457

5．有关反射和遍历运动的说明 459

5　施泰纳问题 460

1．问题及解答 460

2．两种不同情况的分析 462

3．一个补充问题 465

4．说明与习题 466

5．推广到道路网问题 467

6　极值与不等式 469

1．两个正量的算术平均和几何平均 470

2．推广到n个变量 472

3．最小二乘法 474

7　极值的存在性　狄里赫莱原理 476

1．一般说明 476

2．例题 479

3．初等极值问题 481

4．比较复杂情形中所存在的困难 483

8　等周问题 485

9　带有边界条件的极值问题 施泰纳问题和等周问题之间的联系 489

1．引言 493

10　变分法 493

2．变分法　费尔玛光学原理 494

3．贝努利对捷线问题的处理 497

4．球面上的测地线与极大-极小 499

11 极小问题的实验解法　肥皂膜实验 500

1．引言 500

2．肥皂膜实验 501

3．普拉图问题的几种新实验 503

4．其它数学问题的实验解法 508

引言 515

第八章　微积分 515

1　积分 517

1．面积看作是一个极限 517

2．积分 519

3．积分概念的一般说明　一般定义 524

4．积分举例 x？的积分 526

5．“积分运算”的法则 533

2　导数 538

1．把导数看作是斜率 538

2．导数看作是一极限 539

3．例题 543

4．三角函数的导数 547

5．可微性和连续性 549

6．导数和速度　二阶导数和加速度 549

7．二阶导数的几何意义 553

8．极大与极小 554

3　微分法 555

4　莱布尼兹的记号和“无穷小” 564

1．基本定理 568

5　微积分基本定理 568

2．初步应用？,cosx,sinx的积分arc tgx 572

3．表示π的莱布尼兹公式 575

6　指数函数与对数函数 578

1．对数的定义和性质　欧拉数e 578

2．指数函数 582

3．ex,ax,xs的微分公式 585

4．用极限表示e,ex和lnx的表达式 586

5．对数的无穷级数展开式　数值计算 590

1．定义 594

7　微分方程 594

2．指数函数的微分方程 放射性元素的蜕变 增长率　复利 595

3．其它例题　简谐振动 600

4．牛顿动力学定律 602

第八章　补充 605

1　原理方面的内容 605

1．可微性 605

2．积分 608

3．积分概念的另一些应用　功弧长 610

1．指数函数和x的幂 614

2　数量级 614

2．1n（n！）的数量级 617

3　无穷级数和无穷乘积 619

1．函数的无穷级数 619

2．欧拉公式cosx+isinx=eix 626

3．调和级数和Zeta函数　正弦的欧拉乘积 629

4　用统计方法得到素数定理 634

算术和代数 639

附录　补充说明　问题和习题 639

解析几何 642

几何作图 649

射影几何和非欧几何 651

拓扑学 652

函数、极限和连续性 657

极大与极小 658

微积分 661

积分法 664