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第7章 定积分 1

7.1定积分的概念和基本性质 1

7.1.1定积分概念的引出 1

7.1.2定积分的定义 5

7.1.3定积分的基本性质 8

习题7.1 14

7.2定积分的计算 17

7.2.1微积分基本定理 17

7.2.2定积分的换元积分法和分部积分法 20

习题7.2 24

7.3连续函数的可积性 28

7.3.1连续函数的可积性 28

7.3.2积分中值定理 30

7.3.3连续函数原函数的存在性 32

习题7.3 33

7.4函数可积的达布准则 36

7.4.1上积分和下积分 36

7.4.2达布准则 39

7.4.3可积函数乘积的可积性 44

7.4.4积分第二中值定理 45

习题7.4 48

第8章 定积分的应用 52

8.1定积分在分析学中的应用 52

8.1.1一阶线性微分方程 52

8.1.2格朗沃尔引理 53

8.1.3积分型余项的泰勒公式 54

8.1.4高阶原函数 55

8.1.5斯特林公式 57

习题8.1 58

8.2定积分在几何学中的应用 59

8.2.1平面图形的面积 60

8.2.2旋转体的体积 64

8.2.3旋转体的侧面积 66

8.2.4曲线的弧长 69

习题8.2 71

8.3定积分在物理学中的应用 74

8.3.1已知质量密度求质量与质心和已知电荷密度求电量 74

8.3.2由质点构成的曲线对质点的吸引力和带电导线对点电荷的库仑力 77

8.3.3变力做的功 80

8.3.4万有引力定律的导出 81

习题8.3 86

第9章 广义积分 88

9.1无穷积分 88

9.1.1问题的引出 88

9.1.2无穷积分的定义 90

9.1.3无穷积分敛散性的判定 94

习题9.1 101

9.2瑕积分 104

9.2.1瑕积分的定义 104

9.2.2瑕积分敛散性的判定 107

9.2.3瑕积分与无穷积分的关系 111

习题9.2 112

9.3一些定积分公式的推广 114

习题9.3 122

第10章 无穷级数 124

10.1无穷级数的基本概念 124

10.1.1级数问题的提出 124

10.1.2无穷级数收敛与发散的概念 129

习题10.1 133

10.2正项级数 135

10.2.1正项级数的概念及其敛散性准则 135

10.2.2比较判别法 137

10.2.3检比法和检根法 141

10.2.4积分判别法 144

习题10.2 145

10.3任意项级数 149

习题10.3 157

10.4级数的代数运算 160

习题10.4 170

10.5零测集和勒贝格定理 172

习题10.5 177

第11章 函数序列和函数级数 179

11.1函数序列的一致收敛 179

11.1.1问题的提出 179

11.1.2函数序列一致收敛的定义 185

11.1.3一致收敛函数序列的性质 190

习题11.1 195

11.2魏尔斯特拉斯逼近定理和阿尔采拉-阿斯科利定理 196

11.2.1魏尔斯特拉斯第一逼近定理 197

11.2.2魏尔斯特拉斯第二逼近定理 201

11.2.3阿尔采拉-阿斯科利定理 203

习题11.2 207

11.3函数序列的积分平均收敛 210

11.3.1 p方可积函数 210

11.3.2积分平均收敛 213

习题11.3 220

11.4函数级数 222

11.4.1函数级数的逐点收敛和一致收敛 222

11.4.2一致收敛的判别法 224

11.4.3和函数的性质 229

11.4.4函数级数的积分平均收敛 231

习题11.4 234

第12章 幂级数 237

12.1幂级数的收敛区域 237

习题12.1 243

12.2和函数的性质 244

习题12.2 251

12.3函数的幂级数展开 253

12.3.1函数展开成幂级数的必要条件和充分条件 254

12.3.2基本初等函数的幂级数展开 257

12.3.3解析函数 261

习题12.3 265

第13章 傅里叶级数 268

13.1函数的傅里叶级数 269

习题13.1 277

13.2傅里叶级数收敛的条件 279

13.2.1部分和的表示式 279

13.2.2黎曼局部化原理 281

13.2.3迪尼利普希茨收敛定理 286

13.2.4狄利克雷收敛定理 290

习题13.2 294

13.3傅里叶级数的性质 296

13.3.1由函数的光滑性推断傅里叶系数的衰减性 296

13.3.2由傅里叶系数的衰减性推断函数的光滑性 298

习题13.3 303

13.4傅里叶级数的积分平均收敛 305

习题13.4 311

13.5有限区间上的傅里叶展开 313

习题13.5 322

综合习题 324

参考文献 338