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引言 1

1 Riemann积分的局限性 1

2 Lebesgue积分思想简介 5

第一章 集合 8

1 集合及其运算 8

1.1 集合的基本概念 8

1.2 集间关系 9

1.3 集合的交、并运算 10

1.4 集合的差、余运算 12

1.5 集列的极限 14

1.6 集的乘积 16

习题1.1 18

2 集与函数 20

2.1 与函数相关的集 20

2.2 集的特征函数 24

习题1.2 26

3.1 集的对等 27

3 集的对等与集的基数 27

3.2 集的基数及其比较 29

习题1.3 32

4 可列集 33

4.1 可列集的概念 33

4.2 可列集的运算 34

习题1.4 37

5 不可列集 38

5.1 实数集R1不可列 38

5.2 基数c的运算 39

5.3 基数无最大的 42

习题1.5 43

第二章 点集 45

1 直线上的开集、闭集、完全集 45

1.1 直线上的开集 45

1.2 直线上的闭集和完全集 48

1.3 稠密与疏朗·康托（G.Cantor）集 51

习题2.1 54

2 实数理论和实数集R的完备性 55

2.1 实数理论 55

2.2 反映实数集R完备性的几个等价条件 63

习题2.2 73

3 Rn中的点集 73

3.1 n维欧几里得空间简介 73

3.2 Rn中的开集、闭集、完全集 75

习题2.3 77

4 点集间的距离与隔离性定理 78

习题2.4 80

第三章 勒贝格（Lebesgue）测度 81

1 引言（测度理论之创立与发展情况简介） 81

2 Lebesgue外测度 84

2.1 外测度及其性质 84

2.2 外测度不具有可列可加性 87

3 可测集 89

习题3.2 89

3.1 可测集的定义 90

3.2 可测集的性质 91

习题3.3 96

4 可测集类与Borel集类 97

4.1 可测集类 97

4.2 可测集的结构 101

习题3.4 102

5 乘积测度 104

6 抽象测度 110

6.1 环与环上的测度 110

6.2 外测度 117

6.3 测度的延拓 118

第四章 可测函数 121

1 可测函数的定义及其基本性质 121

1.1 可测函数的定义 121

1.2 可测函数的基本性质 125

习题4.1 128

2 可测函数列的收敛性 129

2.1 一致收敛与几乎处处收敛的关系 130

2.2 几乎处处收敛与依测度收敛的关系 132

习题4.2 136

3 可测函数与连续函数的关系 137

习题4.3 142

4 抽象可测函数 142

4.1 抽象可测函数的定义及其基本性质 143

4.2 抽象可测函数列的收敛性 144

第五章 勒贝格（Lebesgue）积分 145

1 非负可测函数的积分 145

1.1 非负简单函数的积分 145

1.2 非负可测函数的积分及其性质 147

习题5.1 154

2 一般可测函数的积分 156

2.1 积分的定义与初等性质 156

2.2 Lebesgue控制收敛定理 159

2.3 连续函数平均逼近定理 164

习题5.2 166

3 Lebesgue积分与Riemann积分的比较 169

3.1 有限区间上？积分与R积分的关系 169

3.2 积分与广义R积分的关系 172

习题5.3 174

4 Fubini定理 175

习题5.4 180

5.1 单调函数的微分性质 181

5 微分与不定积分 181

5.2 有界变差函数 189

5.3 绝对连续函数与微积分基本定理 189

习题5.5 198

6 斯蒂尔吉斯（Stieltjes）积分 200

6.1 Riemann-Stieltjes积分 200

6.2 Lebesgue-Stieltjes积分简介 208

7 一般测度空间（X,？,μ）上可测函数的积分介绍 212

习题5.6 212

第六章 函数空间Lp（E）（1≤p＜+∞） 214

1 Lp（E）是线性赋范空间 214

习题6.1 218

2 Lp（E）是完备的距离空间 218

习题6.2 220

3 Lp（E）空间的可分性 222

习题6.3 225

4 L2（E）空间 225

习题6.4 231

第七章 与中学数学有关的若干问题 233

1 顺序与大小 233

1.1 什么是顺序 233

1.2 复数为什么没有大小 235

2 函数概念的产生与发展 237

2.1 解析的函数概念 237

2.2 几何的函数概念 238

2.3 科学函数定义的雏形 239

2.4 函数概念的精确化 240

2.5 函数定义域限制的取消 240

2.6 近代函数定义 241

2.7 集合函数 241

3 曲线 242

3.1 连续曲线可填满一个正方形 242

3.2 曲线定义介绍 245

4 集合论的基础是否可靠 247

4.1 罗素悖论 247

4.2 选择公理 249

附录Ⅰ 勒贝格（Lebesgue）生平简介 252

附录Ⅱ 勒贝格对实变函数理论的杰出贡献 253

附录Ⅲ 部分高校攻读硕士学位研究生入学考试实变函数试题选集 256

附录Ⅳ 部分习题的参考解答与提示 269

参考文献 294

后记 295