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目次 1

第一章 公式汇集 1

．初等代数学及几何学中之公式 1 1

．平面三角学中之公式 2 2

．平面解析几何学中之公式 3 3

．立体解析几何学中之公式 5 4

．希腊字母 7 5

．变数与常数 8 6

第二章 变数函数与极限 6

．变数之区间 8 7

．连续变更 8 8

．函数 9 9

．自变数与因变数 9 10

．函数之记法 9 11

．禁用零除 10 12

．函数之脉；连续性 11 13

．变数之极限 11 14

．函数之极限值 12 15

．极限定理 12 16

．连续函数与不连续函数 13 17

．无限（∞） 14 18

．无穷小 17 19

．关于无穷小与极限之定理 18 20

第三章 微分法 21

．引言 20 21

．增量 20 22

．增量之比较 21 23

．单变数函数之导数 22 24

．导数之记号 23 25

．可微分函数 24 26

．微分法之一般规则 24 27

．导数之几何解释 26 28

第四章 代数式微分规则 29

．一般规则之重要 29 29

．常数之微分法 30 30

．变数以其本身为准之微分法 30 31

．和之微分法 31 32

．常数与函数之积的微分法 31 33

．二函数之积的微分法 31 34

．n个函数之积的微分法 32 35

．常指数函数之微分法、乘幂规则 33 36

．商之微分法 33 37

．函数之函数之微分法 38 38

．反函数之微分法 39 39

．隐函数 40 40

．隐函数之微分法 41 41

第五章 导数之各种应用 42

．曲线之方向 43 42

．切线与法线之方程式，次切距与次法 43

距 44 44

．函数之极大值与极小值；引言 47 44

．增函数与减函数、 检定法 51 45

．函数之极大值与极小值；定义 52 46

．极定函数极大值与极小值之第一法、 47

．f′（x）变为无限大而f（x）为连续函数 48

作业规则 54 48

时之极大值与极小值 56 49

．极大值与极小值、应用问题 58 49

．导数之作为变率 64 50

．直线运动中之速度 65 51

．相关变率 66 52

第六章 逐次微分法及其应用 53

．逐次导数之定义 72 53

．隐函数之逐次微分法 72 54

．曲线弯曲之方向 74 55

．检定极大值与极小值之第二法 75 56

．拐点 78 57

．曲线重法 80 58

．直线运动中之加速度 82 59

第七章 微分 60

．引言 85 60

．定义 85 61

．求函数微分之公式 86 62

．用微分求增量之近似值 88 63

．微小误差 88 64

．直角坐标制中弧之微分 90 65

．微分之作为无穷小 92 66

．无穷小之阶、高阶微分 93 67

第八章 简式积分法 68

．积分法 95 68

．积分常数、不定积分 96 69

．若干基本型之积分规则 97 70

．代换积分法 102 71

．用原始条件确定积分常数 104 72

第九章 积分常数 72

．积分常数之几何意义 104 73

．积分常数之物理意义 107 74

第十章 定积分 75

．曲线下之面积的微分 112 75

．定积分 112 76

．定积分之计算 114 77

．与变数改易对应之限的改易 114 78

．面积之计算 116 79

．积分之几何表示法 117 80

．近似积分法、梯形规则 118 81

．章普孙规则（抛物线规则） 119 82

．限之互换 122 83

．定积分之积分区间的分解 122 84

．定积分为其二限之函数 123 85

．广义积分、无穷积分限 123 86

．广义积分、于y＝φ（x）为不连续时 123 87

．引言 127 88

第十一章 积分法为求和法 88

．积分学之基本定理 127 89

．平面曲线之面积；直角坐标 129 90

．回转体之体积 133 91

．曲线之长 138 92

．平曲线之长；直角坐标 139 93

．回转曲面之面积 141 94

．具有已知平行截面之立体 146 95

．面积矩形心 149 96

．回转体之形心 152 97

．流体压力 154 98

．功 156 99

．函数之平均值 161 100

第十二章 超越函数微分法 101

及其应用 101

．导数公式；第二表 165 101

．数e、自然对数 166 102

．指数函数与对数函数 168 103

．对数之微分法 168 104

．指数函数之微分法 170 105

．一般指数函数之微分法、 乘幂规 106

则之证明 170 107

．对数微分法 172 107

．函数sinx 175 108

．定理 175 109

．sinv之微分法 176 110

．其他三角函数 177 111

．cosv之微分法 178 112

．公式XV-XIX之证明 178 113

．备注 179 114

．反三角函数 183 115

．arc sinv之微分法 184 116

．arc cosv之微分法 185 117

．arc tanv之微分法 185 118

．arc ctn v之微分法 186 119

．aarc secv与arc cscv之微分法 186 120

．arc versv之微分法 188 121

．曲线之参数方程式、斜率 195 122

第十三章 参数方程式极标 122

方程式与根 122

．参数方程式、第二阶导数 199 123

．曲线运动、速度 200 124

．曲线运动、分加速度 201 125

．极坐标、向径与切线间之角 203 126

．极坐标制中弧之微分 207 127

．方程式之实根、图示法 208 128

．确定实根位置之第二法 210 129

．牛顿法 212 130

第十四章 曲率， 曲率半径 131

与曲率圆 131

．曲率 216 131

．圆之曲率 216 132

．曲率公式；直角坐标 217 133

．参数方程式之特殊公式 218 134

．曲率公式；极坐标 219 135

．曲率半径 219 136

．铁路曲线或渐曲线 220 137

．曲率圆220 138

．曲率中心 223 139

．渐屈线 225 140

．渐屈线之性质 228 141

．渐伸线及其机械作图法 230 142

．导数之变换 232 143

第十五章 均值定理及其应用 144

．洛尔定理 235 144

．密切圆 236 145

．相临法线之极限交点 237 146

．均值定理（均值定律） 238 147

．积分学基本定理之解析证明 240 148

．不定型 241 149

．不定型函数之计值 242 150

．不定型？之计值 242 151

．不定型？之计值 245 152

．不定型0·∞之计值 245 153

．不定型∞-∞之计值 246 154

．不定型0°，1？，∞°之计值 247 155

．均值推广定理 249 156

．极大与极小之解析讨论 249 157

第十六章 标准基本型之 158

积分法及其应用 158

．标准基本型之积分规则 253 158

．（5）之证明 254 159

．（6）与（7）之证明 257 160

．（8）-（17）之证明 258 161

．（18）-（21）之证明 261 162

．（22）与（23）之证明 268 163

．三角微分 270 164

．含？或？之式用 165

三角代换之积分法 277 166

．分部积分法 279 166

．结论 283 167

．平曲线之面积；极坐标 285 168

．所与曲线方程式为参数型时之面积 287 169

．平曲线之长；极坐标 288 170

第十七章 各种形式积分法 171

．引言 299 171

．有理分数积分法 299 172

．新变数代换之积分法；有理化 306 173

．二项微分 309 174

．二项微分有理化之条件 312 175

．三角微分之变换 312 176

．杂类代换 315 177

．引言 317 178

第十八章 简化公式，积分表 178

之应用 178

．二项微分之简化公式 317 179

．三角微分之简化公式 322 180

．积分表之应用 325 181

第十九章 极数 182

．定义 329 182

．几何级数 330 183

．收敛极数与发散级数 332 184

．一般定理 332 185

．比较检验法 334 186

．柯希比检法 337 187

．交错级数 338 188

．绝对收敛性 339 189

．概要 339 190

．幕级数 341 191

．二项级数 345 192

．幂级数之另一型 346 193

．马克劳林级数 348 194

第二十章 函数之展开 194

．无穷级数之运算 353 195

．幂级数之微分法与积分法 357 196

．由马克劳林级数推得之近似公式 359 197

．台劳级数 361 198

．台劳级数之另一型 363 199

．由台劳级数推得之近似公式 364 200

．微分方程式——阶与次 367 201

第二十一章 常微分方程式 201

．微分方程式之解、积分常数 368 202

．微分方程式之解的核验 369 203

．一阶与一次之微分方程式 370 204

．高阶微分方程式之二特型 379 205

．常系数二阶线性微分方程式 382 206

．应用、复利定律 391 207

．在力学问题方面之应用 394 208

．常系数n阶线性微分方程式 399 209

．双曲线正弦与余弦 406 210

第二十二章 双曲线函数 210

．其他双曲线函数 407 211

．双曲线正弦余弦及正切之数值表 407 212

．v＋w之双曲线函数 409 213

．导数 411 214

．与等轴双曲线之关系 412 215

．反双曲线函数 415 216

．导数（续） 417 217

．电报线路 420 218

．积分 421 219

．积分（续） 424 220

．顾德曼函数 427 221

．麦转托地图 430 222

．三角函数与双曲线函数之关系 432 223

第二十三章 偏微分法 224

．多变数之函数、连续性 436 224

．偏导数 437 225

．偏导数之几何解释 438 226

．全微分 440 227

．全增量之近似值、微小误差 443 228

．全导数、变率 446 229

．变数之改易 448 230

．隐函数之微分法 450 231

．高阶导数 453 232

第二十四章 偏导数之应用 233

．曲线之包络 457 233

．一已知曲线之渐屈线即其法线之包 234

．数斜曲线之切线与法面 462 235

络 460 235

．？斜曲线之弧长 464 236

．曲面之法线与切面 466 237

．全微分之几何解释 468 238

．？斜曲线之切线与法面方程式之另 239

一型 471 240

．均值定律 473 240

．多变数函数之极大与极小 474 241

．关于二个或二个以上变数之函数的 242

．偏积分法与逐次积分法 482 243

第二十五章 多重积分 243

台劳定理 479 243

．二重定积分、几何解释 483 244

．在一区域S上所取之二重定积分 245

之值 488 246

．平面面积为一二重定积分、 直角 246

坐标 489 247

．一曲面下之体积 492 247

．建立二重积分之南针 494 248

．面积矩与形心 494 249

．巴布斯定理 495 250

．流体压力之中心 497 251

．面积之转动惯量 499 252

．极转动惯量 501 253

．极坐标、平面面积 503 254

．应用极坐标之问题 505 255

．曲面面积之一般求法 507 256

．由三重积分法求得之体积 512 257

．用柱面坐标求体积 514 258