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第一篇 应用微积分 1

第1章 函数 1

1.1 概述 1

1.1.1 概述 1

1.1.2 银行利率与贷款买房 2

1.2 描述量间的简单关系（一元函数） 5

1.2.1 销量、贷款买房与心电图（函数的概念及表示） 5

1.2.2 函数关系的确定与函数的定义域、值域 7

1.2.3 图、表与代数式（函数的三种表示方式间的关系） 8

1.2.4 如何表示邮包的邮费（分段函数） 10

1.3 初等函数及其图象特征 12

1.3.1 基本初等函数及其图象 12

1.3.2 构建新函数 17

1.3.3 初等函数 21

1.4 多个量的总体贡献 25

1.4.1 表示多个量的联合 25

1.4.2 点函数及其定义域 27

1.4.3 二元函数的图象 29

1.5 关于向量的几点说明 29

1.5.1 向量的向量运算 30

1.5.2 向量的坐标运算 33

习题1 35

第2章 方程与图形 42

2.1 认识空间曲面 42

2.1.1 表示球状物体（球面及其方程） 42

2.1.2 如何表示平面 43

2.1.3 空间曲面的一般方程 45

2.2 绘制曲面（曲面的参数方程） 46

2.2.1 平面曲线的参数方程 46

2.2.2 平面方程的再讨论 47

2.2.3 工艺品的形成与旋转曲面 48

2.2.4 百叶门与其滑槽 52

2.2.5 一般空间曲面的参数方程 53

2.2.6 剧院与卫星天线（二次曲面的参数方程与一般方程） 55

2.3 绘制空间曲线（空间曲线的 58

参数方程） 58

2.3.1 直线的参数方程 58

2.3.2 螺旋线的参数方程 61

2.3.3 一般空间曲线的参数方程 62

2.4.1 平面图形的平移、伸缩与旋转 64

2.4 图形变换 64

2.4.2 平面图形的仿射变换 66

2.4.3 空间图形的仿射变换 67

习题2 67

第3章 极限与连续的概念 70

3.1 数列的极限 70

3.1.1 数列极限的概念 70

3.2 函数的极限 75

3.2.1 广告的效用（x→∞时的极限） 75

3.2.2 人影长度何时为零（函数x→x0时的极限与函数的连续） 77

3.2.3 数列极限与函数极限的联系 79

3.2.4 求极限公式与极限的运算法则 80

3.3 函数的连续 83

3.3.1 一元函数的连续与间断 83

的性质 85

3.3.2 一元连续函数在闭区间上 85

3.3.3 多元函数的极限与连续 88

习题3 90

第4章 应用微分学 96

4.1 路程的变化率——平均速度与 96

瞬时速度 96

4.2 导数——函数随自变量变化的瞬时变化率 99

4.2.1 导数的定义 99

4.2.2 导数的几何意义 99

4.2.3 导函数 101

4.2.4 高阶导数 102

4.3 几个导数公式 103

——多元函数的偏导数 105

4.4 多元函数对某一个自变量的导数 105

4.4.1 二元函数偏导数的概念 106

4.4.2 偏导数的求法 106

4.5 如何才能是最优的 107

4.5.1 —一71可导函数的极值与最值 107

4.5.2 单调性 110

4.5.3 凸凹性 111

4.5.4 多元函数的极值 112

4.6 信息的放大与缩小 114

4.6.1 一元函数的微分 114

4.6.2 多元函数的全微分 116

4.7 以直代曲及其应用 117

4.7.1 局部线性化 118

4.7.2 求方程根的牛顿迭代法 118

4.7.3 梯度及其应用 120

习题4 122

第5章 连续积累问题 131

5.1 定积分的概念 131

5.1.1 除雪机除雪问题 131

5.1.2 曲边梯形的面积 133

5.1.3 定积分的概念与定积分的 135

几何意义 135

5.2 定积分的近似计算 137

5.2.1 矩形法 137

5.2.2 梯形法 139

5.3 不定积分与定积分的计算 140

5.3.1 由速度到位移 140

5.3.2 不定积分表与不定积分的计算 141

5.3.3 定积分的牛顿莱布尼茨公式 143

5.4 定积分概念的推广 146

5.4.1 特种润滑油应生产多少 146

5.4.2 矿山中矿物的储量 149

习题5 155

第6章 简单数据处理与函数逼近 162

6.1 用多项式表示数据 162

6.1.1 过数据点的多项式（多项式插值） 162

6.1.2 拉格朗日插值公式 164

6.1.3 误差与表达方式间的平衡（用线性函数与二次函数逼近数据） 165

6.1.4 几点说明 170

6.2 计算机中的超越函数（用多项式逼近 174

超越函数） 174

6.2.1 强调总体效果的逼近 174

（Taylor逼近） 175

6.2.2 强调局部效果的逼近 175

6.2.3 泰勒多项式逼近的有效范围 178

6.3 周期函数的三角逼近 180

6.3.1 以2π为周期的函数的三角逼近 180

6.3.2 三角多项式逼近的系数 182

6.3.3 以T为周期的函数的三角 184

多项式逼近 184

6.3.4 几种常见信号的三角逼近多项式 185

习题6 186

第7章 微分方程与数学建模入门 191

7.1 微分方程的有关问题 191

7.1.1 模拟计算问题 191

7.1.2 微分方程的有关概念 194

7.1.3 简单微分方程的解法 197

7.1.4 微分方程的数值解 198

7.2 实际问题与数学问题 202

7.2.1 华盛顿塔科马大桥的倒塌原因 202

7.2.2 传染病问题 204

7.3 数学建模入门 206

7.3.1 数学模型的有关概念 206

7.3.2 数学建模的方法与步骤 206

7.3.3 数学建模举例 209

习题7 212

第二篇 微积分计算与理论 219

第8章 微积分的有关计算 219

8.1 无穷小的概念与极限计算 219

8.1.1 无穷小的概念与无穷小的性质 219

8.1.2 无穷小的比较 220

8.1.3 极限的运算 221

8.2 导数的计算 224

8.2.1 导数的运算法则与导数公式 224

8.2.2 由方程与参数方程确定的函数的导数 225

8.2.3 偏导数、微分与全微分计算 228

8.3 积分计算 233

8.3.1 定积分的换元积分法 233

8.3.2 定积分的分部积分法 235

8.3.3 定积分的中值定理 237

8.3.4 二重积分化为累次积分 238

8.4 积分概念的延伸 240

8.4.1 第一类曲线积分 240

8.4.2 第二类曲线积分 242

8.4.3 Green公式和积分与路径无关 246

习题8 249

第9章 微分方程的解法 257

9.1 一阶微分方程 257

9.1.1 可分离变量的微分方程 257

9.1.2 齐次型微分方程 262

9.1.3 一阶线性微分方程 264

9.2 二阶线性微分方程 270

9.2.1 二阶线性微分方程解的结构 270

9.2.2 二阶常系数线性齐次微分方程 272

9.2.3 二阶常系数线性非齐次微分方程 277

9.3 微分方程组 285

习题9 291

10.1 泰勒级数 294

第10章 微积分应用的理论基础 294

10.2 常数项级数 297

10.2.1 级数的概念与级数的基本性质 297

10.2.2 正项级数收敛的判别法 300

10.2.3 交错级数的莱布尼茨判别法 303

10.2.4 一般数项级数的收敛性 304

10.3 函数项级数 305

10.3.1 函数项级数的概念 305

10.3.2 幂级数 306

10.3.3 函数展开成幂级数 309

10.4 微分中值定理及其应用 314

10.4.1 微分中值定理 314

10.4.2 泰勒（Taylor）中值定理 318

10.4.3 洛必达法则 320

习题10 324

第三篇 应用数学基础 327

第11章 矩阵及其应用 327

11.1 数表与矩阵 327

11.1.1 矩阵的概念 327

11.1.2 矩阵的运算 330

11.1.3 矩阵的初等变换 334

11.2 向量组的线性相关性 341

11.2.1 n维向量 341

11.2.2 量组的线性关系 342

11.3 方阵的行列式 344

11.3.1 方阵行列式的定义 344

11.3.2 行列式的性质 346

11.3.3 克拉默法则 348

11.4 矩阵的应用 350

11.4.1 求解线性方程组 350

11.4.2 矩阵的特征值与特征向量 353

11.4.3 矩阵与图形的几何变换 355

11.4.4 实二次型 358

习题11 361

第12章 概率论与数理统计 367

12.1 概率论与统计基础 367

12.1.1 数据的简单描述 367

12.1.2 概率与分布律 373

12.1.3 连续型随机变量的分布函数 380

12.2 统计分析方法 386

12.2.1 参数估计 386

12.2.2 统计检验 389

12.3 随机计算机模拟 396

12.3.1 随机问题的计算机模拟 396

12.3.2 随机数的产生 398

12.3.3 随机系统模拟 401

12.4 两个有用的例子 404

12.4.1 蒙特卡罗积分 404

12.4.2 近似计算中的误差估计 405

习题12 406

附录Ⅰ常用数理统计表 412

表1标准正态分布表 412

表2 t分布表 413

表3 x2分布表 414

表4 F分布表 415

附录Ⅱ积分表 420