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第一章 微积分基础 1

1.1 函数 1

一、集合 1

二、函数的概念 4

三、函数的几种特性 8

四、反函数 复合函数 11

五、初等函数 12

六、建立函数关系式举例 21

习题1.1 25

1.2 函数的极限 27

一、“x→∞”时函数的极限 28

二、“x→x0”时函数的极限 32

三、极限的性质 37

四、极限的四则运算法则 39

习题1.2 43

1.3 极限存在准则 两个重要极限 46

一、夹逼准则？=1 46

二、单调有界准则？(1+？)x=e 49

四、海涅定理 54

三、柯西收敛准则 54

习题1.3 56

1.4 无穷小量与无穷大量 58

一、无穷小量与无穷大量的概念 58

二、无穷小量与无穷大量的关系 59

三、无穷小的四则运算性质 60

四、函数及其极限与无穷小的关系 62

五、无穷小的比较 63

习题1.4 68

一、连续性的概念 70

1.5 连续函数 70

二、函数的间断点 75

三、初等函数的连续性 80

四、闭区间上连续函数的性质 85

习题1.5 90

1.6 导数与微分的概念 92

一、引例 92

二、导数的定义 95

三、导数的几何意义 99

四、函数可导与连续的关系 100

五、微分的概念 102

习题1.6 105

1.7 定积分的概念及性质 107

一、引例 107

二、定积分的定义 109

三、定积分的几何意义 函数可积的充分条件 111

四、定积分的性质 114

习题1.7 117

1.8 微积分基本定理 118

一、积分上限的函数 119

二、原函数与不定积分的概念 120

三、牛顿-莱布尼兹公式 123

习题1.8 126

复习题 126

第二章 微积分运算 129

2.1 导数的运算法则与基本公式 129

一、导数的四则运算法则 129

二、复合函数的求导法则 131

三、反函数的求导法则 136

四、导数基本公式 138

习题2.1 139

2.2 隐函数及参数式函数的导数 141

一、隐函数的导数 141

二、参数式函数的导数 146

习题2.2 150

2.3 高阶导数 151

习题2.3 158

2.4 微分的运算与微分形式不变性 160

一、微分的运算 160

二、微分形式不变性 160

三、微分在近似计算中的应用 162

习题2.4 166

2.5 积分基本公式与运算法则 167

习题2.5 173

2.6 第一换元积分法(凑微分法) 174

习题2.6 184

2.7 第二换元积分法 定积分的换元积分法 185

一、第二换元积分法 185

二、定积分的换元积分法 192

习题2.7 198

2.8 分部积分法 200

习题2.8 212

2.9 几种特殊类型的函数的积分 214

一、有理函数的积分 214

二、三角函数有理式的积分 224

三、简单无理函数的积分 226

习题2.9 227

2.10 数值积分 228

一、几个基本数值求积公式 230

二、变步长梯形法 235

习题2.10 238

复习题 239

第三章 微积分应用 245

3.1 泰勒公式 245

习题3.1 254

3.2 微分中值定理 256

习题3.2 260

3.3 不定型的极限 262

一、？和？型 262

二、其他不定型 265

习题3.3 270

一、函数单调性的判定法 271

3.4 函数的单调性与极值 271

二、函数的极值 274

三、最大值与最小值问题 280

四、求函数极值的数值方法 284

习题3.4 291

3.5 函数的凸性与拐点 293

习题3.5 300

3.6 函数作图 301

一、曲线的渐近线 301

二、函数作图 306

习题3.6 308

3.7 曲率 309

一、弧微分 309

二、曲线的曲率 311

习题3.7 316

3.8 方程求根的迭代法 316

一、迭代法 317

二、牛顿法 322

三、弦截法 326

习题3.8 327

3.9 定积分在几何方面的应用 328

一、微元分析法 329

二、求平面图形的面积 331

三、已知平行截面面积的立体体积 336

习题3.9 340

3.10 定积分在物理方面的应用 341

习题3.10 349

3.11 微积分的其他应用 351

一、相关变化率 351

二、函数的平均值与均方根 353

三、在经济和管理理论中的应用 355

习题3.11 361

3.12 数学建模简介 363

一、数学模型的概念 364

二、建立数学模型的方法和步骤 367

三、几个建模实例 369

习题3.12 377

复习题 378

第四章 常微分方程 383

4.1 基本概念 383

习题4.1 389

4.2 一阶微分方程 390

一、可分离变量的方程 391

二、齐次方程 397

三、可化为齐次方程的方程 400

四、一阶线性方程 404

习题4.2 410

4.3 高阶微分方程 413

一、可降阶的方程 413

二、高阶线性方程 421

三、二阶常系数线性微分方程 429

四、欧拉方程 447

习题4.3 450

4.4 常微分方程的数值解法 455

一、欧拉方法 456

二、改进的欧拉方法 457

习题4.4 460

4.5 微分方程模型 461

习题4.5 471

复习题 472

习题答案 475