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第一章 实数的十进表示及运算 1

1 比例数列的极限 1

1.1 比例数的本原表示 1

1.2 比例数列以及比例数列的极限 2

习题1.1 8

2 实数的十进表示的定义，比例数的十进表示 8

习题1.2 18

3 R中的算术运算及大小次序 18

习题1.3 29

4 正数的开方运算以及幂运算 29

4.1 开方运算 29

4.2 幂运算 32

4.3 幂函数和指数函数 37

习题1.4 41

5 实数列与实数集的一些性质，一些练习 41

习题1.5 51

6 非比例数比比例数多得多，基数的概念 52

习题1.6 55

第二章 函数 58

1 一元函数 58

习题2.1 61

2 再谈指数函数 62

习题2.2 69

3 n维Euclid空间Rn 69

3.1 Euclid空间 69

3.2 紧致性的概念 75

3.3 Rn中的开集的结构 80

习题2.3 82

4 多元函数 83

习题2.4 91

第三章 微分学 93

1 导数 93

1.1 方向导数、导数 93

1.2 一元情形 96

1.3 可导的充分条件及求导算律 110

1.4 高阶偏导数 114

1.5 导数的几何意义——切线和切平面 117

习题3.1 118

2 Taylor公式和Taylor展开式 121

2.1 Taylor公式 121

2.2 一元初等函数的Taylor展开 128

2.3 函数的局部极值 131

习题3.2 133

3 可微变换 134

3.1 基本概念 135

习题3.3.1 138

3.2 可微变换的复合 139

习题3.3.2 143

3.3 逆变换 144

习题3.3.3 149

4 隐变换 150

4.1 特殊情形 150

4.2 一般情形 154

习题3.4 157

5 条件极值 158

习题3.5 163

6 几何应用 163

6.1 曲线 163

6.2 曲面 167

习题3.6 170

7 原函数 171

习题3.7 177

第四章 积分学 179

1 测度 179

1.1 外测度 180

1.2 测度 185

1.3 Borel集是可测集 188

1.4 通过开集刻画可测集 189

1.5 不可测集 191

习题4.1 191

2 可测函数 194

2.1 基本概念 194

2.2 可测函数的结构 199

2.3 连续函数的延拓 202

习题4.2 205

3 积分的定义及基本理论 207

3.1 积分的定义及基本性质 207

3.2 积分号下取极限 219

3.3 把多重积分化为累次积分 224

3.4 积分的变量替换 228

习题4.3 242

4 几乎连续函数及其积分 245

习题4.4 251

5 微积分基本定理 252

5.1 基本定理 253

5.2 换元积分法 255

5.3 分部积分法 256

习题4.5 261

第五章 积分学的应用（一） 264

1 常见几何体的测度 264

习题5.1 269

2 用积分解决几何的和物理的问题的例子 271

2.1 一个体积公式 271

2.2 另一个体积公式 273

2.3 力做的功 275

2.4 功和能的联系 275

2.5 液体在竖直面上的压力 276

习题5.2 277

3 积分号下取极限的定理应用于参变积分 278

3.1 参变积分的一般性质 278

3.2 具体的例 280

3.3 广义参变积分的积分号下取极限 283

3.4 几个判断广义参变积分一致收敛的例子 292

习题5.3 296

4 一类重要的参变积分——Euler积分 298

习题5.4 305

5 可积函数用紧支撑光滑函数近似 306

习题5.5 310

第六章 积分学的应用（二）——曲线和曲面上的第一型积分 311

1 Rn的子空间中的测度 311

1.1 Rn中平行2n面体的测度 311

1.2 Rn的k（k＜n）维子空间中的平行2k面体的测度 313

习题6.1 317

2 曲线的长度及曲线的自然表示 318

2.1 简单曲线及其长度 318

2.2 简单曲线的自然表示，正则曲线 321

2.3 正则曲线的切线、主法线及曲率 323

习题6.2 326

3 曲线上的测度及积分 326

习题6.3 331

4 Rn（n≥3）中的2维曲面上的测度和积分 332

习题6.4 340

5 Rn中的k维（1≤k＜n）曲面上的测度和积分 341

习题6.5 351

第七章 积分学的应用（三）——曲线和曲面上的第二型积分 352

1 场的概念 数量场的梯度场 352

习题7.1 354

2 第二型曲线积分 354

习题7.2 362

3 沿曲线的Newton-Leibniz公式 363

习题7.3 365

4 R2中的Green公式 368

习题7.4 377

5 第二型曲面积分 378

习题7.5 388

6 Gauss公式向量场的散度 389

6.1 Gauss公式 389

6.2 Gauss公式是Green公式的推广 393

6.3 Gauss积分 398

6.4 立体角及相关的积分 400

6.5 又一个Green公式 404

6.6 向量场的散度 406

习题7.6 408

7 Stokes公式 旋度 409

7.1 R3中的Stokes公式 409

7.2 旋度 413

习题7.7 416

第八章 函数的级数展开 418

1 收敛判别法 418

习题8.1 427

2 一致收敛 428

习题8.2 435

3 求和号下取极限 436

习题8.3 442

4 幂级数与Taylor展开 443

4.1 一般性讨论 443

习题8.4.1 448

4.2 函数的Taylor展开 449

习题8.4.2 455

5 三角级数与Fourier展开 456

5.1 三角级数 457

5.2 Fourier级数 459

5.3 Fourier部分和 461

5.4 局部化原理 462

5.5 一致收敛问题 467

5.6 Fejér和 474

5.7 涉及Fourier系数的定理 477

习题8.5 483

6 （选读）用代数多项式一致逼近连续函数 487

习题8.6 493

索引 495