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第一篇 微积分 3

第一章 函数 极限 连续 3

考点与要求 3

1 函数 3

内容精讲 3

一、函数的概念及表示方法 3

二、函数的性态 3

三、几个与函数相关的概念 4

四、重要公式与结论 5

例题分析 6

一、求函数的定义域及表达式 6

二、函数的特性 8

2 极限 10

内容精讲 10

一、极限的定义 10

二、数列极限的基本性质 11

三、函数极限的基本性质 11

四、无穷小量与无穷大量 11

五、极限的四则运算法则 12

六、两个重要极限 13

七、极限存在的两个准则 13

八、洛必达（L′Hospital）法则 13

九、重要公式与结论 14

例题分析 15

一、极限的概念与性质 15

二、求函数的极限 16

三、求数列的极限 23

四、求含参变量的极限 24

五、无穷小量阶的比较 25

六、函数极限的反问题 26

3 函数的连续与间断 28

内容精讲 28

一、连续的定义 28

二、函数的间断点及其分类 28

三、连续函数性质 28

四、重要定理与结论 29

例题分析 29

一、函数的连续性及间断点的分类 29

二、连续函数性质的应用 31

第二章 一元函数微分学 32

考点与要求 32

1 导数与微分 32

内容精讲 32

一、导数的概念 32

二、导数的计算 33

三、微分 35

四、重要公式与结论 35

例题分析 36

一、有关导数的定义及性质 36

二、含有绝对值函数的导数 39

三、导数的几何意义 40

四、变限积分的导数 41

五、利用导数公式及法则求导 42

六、可导条件下求待定的参数 45

七、求函数的高阶导数 45

2 导数的应用 47

内容精讲 47

一、函数的单调性与极值 47

二、曲线的凹凸性与拐点 48

三、曲线的渐近线 48

四、函数图形的描绘 49

五、重要公式与结论 49

例题分析 49

一、求函数的单调区间与极值 49

二、判断曲线的凹凸性与拐点 51

三、求曲线的渐近线 52

四、导数的经济应用 53

3 中值定理及不等式的证明 55

内容精讲 55

一、微分中值定理 55

二、补充公式与结论 56

三、与本章例题有关的其它内容 56

例题分析 56

一、证明存在ξ使f（ξ）＝0 56

二、讨论方程根的个数及范围 58

三、证明存在ξ，使f（n）（ξ）＝0（n=1,2,…） 59

四、证明存在ξ，使G（ξ，f（ξ），f′（ξ））＝0 60

五、含有f″（ξ）（或更高阶导数）的介值问题 62

六、双介值问题F（ξ，η，…）＝0 62

七、不等式的证明 63

第三章 一元函数积分学 69

考点与要求 69

1 不定积分 69

内容精讲 69

一、不定积分的概念与性质 69

二、基本积分公式 70

三、三个积分方法 70

四、重要公式与结论 71

例题分析 73

一、不定积分的概念和性质 73

二、不定积分的计算 74

2 定积分 83

内容精讲 83

一、定积分的概念与性质 83

二、定积分的几个定理 84

三、定积分的计算方法 85

四、重要公式与结论 85

例题分析 86

一、定积分的概念及性质 86

二、定积分的计算 89

三、有关变限积分的问题 94

四、定积分的证明题 95

3 反常积分 97

内容精讲 97

一、无穷区间的反常积分 97

二、无界函数的反常积分 98

三、几个重要的反常积分 99

例题分析 100

4 定积分的应用 102

内容精讲 102

一、定积分应用的基本原理—微元法（元素法） 102

二、定积分的几何应用 102

三、定积分的经济应用 103

例题分析 103

一、定积分的几何应用 103

二、定积分的经济应用 105

第四章 多元函数微积分学 107

考点与要求 107

1 多元函数微分学 107

内容精讲 107

一、多元函数的极限与连续 107

二、偏导数与全微分 108

三、复合函数求导法则 109

四、隐函数的求导公式 110

五、多元函数的极值 110

六、重要公式与结论 111

例题分析 112

一、二元函数的极限与连续 112

二、偏导数与全微分的概念 113

三、求复合函数的偏导数与全微分 116

四、求隐函数的偏导数与全微分 121

五、变量替换下表达式的变形 123

六、多元函数微分学的反问题 126

七、多元函数的极值与最值 127

2 二重积分 133

内容精讲 133

一、二重积分的概念与性质 133

二、二重积分的计算 134

三、重要公式与结论 135

例题分析 135

一、二重积分的概念及性质 135

二、二重积分的基本计算 137

三、利用区域的对称性和函数的奇偶性计算积分 140

四、分块函数的二重积分 142

五、交换积分次序及坐标系 143

六、反常二重积分的计算 146

七、与二重积分相关的证明 147

第五章 无穷级数 149

考点与要求 149

1 常数项级数 149

内容精讲 149

一、基本概念和基本性质 149

二、正项（不变号）级数敛散性的判别法 150

三、任意项（变号）级数敛散性的判别法 150

四、重要公式与结论 151

例题分析 152

一、正项级数敛散性的判定 152

二、交错级数的敛散性的判定 155

三、任意项级数敛散性的判定 157

四、数项级数敛散性的证明 160

五、利用收敛级数求极限 162

2 幂级数 163

内容精讲 163

例题分析 164

一、求幂级数的收敛半径及收敛域 164

二、求幂级数的和函数 168

三、求数项级数的和 170

四、函数展开为幂级数 172

五、经济中的应用 173

第六章 常微分方程与差分方程 175

考点与要求 175

1 常微分方程 175

内容精讲 175

一、几个基本概念 175

二、常见的一阶微分方程及其解法 176

三、二阶线性微分方程 176

例题分析 178

一、一阶微分方程的求解 178

二、二阶线性微分方程 181

三、可化为微分方程求解的问题 184

四、微分方程的应用 186

2 差分方程 188

内容精讲 188

一、差分的概念 188

二、一阶常系数线性差分方程 188

例题分析 189

第二篇 线性代数 193

第一章 行列式 193

考点与要求 193

内容精讲 193

例题分析 196

一、数字型行列式的计算 196

二、抽象型行列式的计算 202

三、行列式｜A｜是否为零的判定 204

四、关于代数余子式求和 204

第二章 矩阵 207

考点与要求 207

内容精讲 207

1 矩阵的概念及运算 207

一、矩阵的概念 207

二、矩阵的运算 208

三、矩阵的运算规则 208

四、特殊矩阵 209

2 可逆矩阵 210

一、可逆矩阵的概念 210

二、n阶矩阵A可逆的充分必要条件 210

三、逆矩阵的运算性质 210

四、求逆矩阵的方法 210

3 初等变换、初等矩阵 211

一、定义 211

二、初等矩阵与初等变换的性质 211

4 矩阵的秩 212

一、矩阵秩的概念 212

二、矩阵秩的公式 212

5 分块矩阵 213

一、分块矩阵的概念 213

二、分块矩阵的运算 213

例题分析 214

一、矩阵的概念及运算 214

二、特殊方阵的幂 218

三、伴随矩阵的相关问题 220

四、可逆矩阵的相关问题 223

五、初等变换、初等矩阵 226

六、矩阵秩的计算 227

第三章 向量 232

考点与要求 232

内容精讲 232

1 n维向量的概念与运算 232

2 线性表出、线性相关 233

3 极大线性无关组、秩 234

4 Schmidt正交化、正交矩阵 235

例题分析 235

一、线性相关的判别 235

二、向量的线性表示 236

三、线性相关与线性无关的证明 239

四、秩与极大线性无关组 241

五、正交化、正交矩阵 243

第四章 线性方程组 245

考点与要求 245

内容精讲 245

1 克拉默法则 245

2 齐次线性方程组 245

3 非齐次线性方程组 247

例题分析 248

一、线性方程组的基本概念题 248

二、线性方程组的求解 252

三、基础解系 257

四、AX=0的系数行向量和解向量的关系，由AX=0的基础解系反求A 259

五、线性方程组中系数矩阵的列向量和解向量的关系 260

六、两个方程组的公共解 262

七、同解方程组 263

八、线性方程组的有关杂题 265

第五章 特征值、特征向量、相似矩阵 268

考点与要求 268

内容精讲 268

1 特征值、特征向量 268

一、定义 268

二、特征值的性质 268

三、求特征值、特征向量的方法 269

2 相似矩阵、矩阵的相似对角化 269

一、定义 269

二、矩阵可相似对角化的充分必要条件 269

三、相似矩阵的性质及相似矩阵的必要条件 270

3 实对称矩阵的相似对角化 270

一、定义 270

二、实对称阵的特征值，特征向量及相似对角化 270

三、实对称矩阵正交相似于对角阵的步骤 270

例题分析 271

一、特征值，特征向量的求法 271

二、两个矩阵有相同的特征值的证明 275

三、关于特征向量及其他给出特征值特征向量的方法 276

四、矩阵是否相似于对角阵 277

五、利用特征值、特征向量及相似矩阵确定参数 280

六、由特征值、特征向量反求A 280

七、矩阵相似及相似标准形 281

八、相似对角阵的应用 286

第六章 二次型 291

考点与要求 291

内容精讲 291

1 二次型的定义、矩阵表示，合同矩阵 291

一、二次型概念 291

二、二次型的矩阵表示 291

2 化二次型为标准形、规范形 合同二次型 292

一、定义 292

3 正定二次型、正定矩阵 294

一、定义 294

例题分析 294

一、二次型的矩阵表示 294

二、化二次型为标准形、规范形 295

三、合同矩阵、合同二次型 301

四、正定性的判别 304

五、正定二次型的证明 308

六、综合杂题 309

第三篇 概率论与数理统计 315

第一章 随机事件与概率 315

考点与要求 315

1 事件、样本空间、事件间的关系与运算 315

内容精讲 315

例题分析 317

2 概率、条件概率、独立性和五大公式 319

内容精讲 319

例题分析 320

3 古典概型与伯努利概型 325

内容精讲 325

例题分析 326

第二章 随机变量及其概率分布 329

考点与要求 329

1 随机变量及其分布函数 329

内容精讲 329

例题分析 330

2 离散型随机变量和连续型随机变量 331

内容精讲 331

例题分析 332

3 常用分布 333

内容精讲 333

例题分析 336

4 随机变量函数的分布 339

内容精讲 339

例题分析 340

第三章 多维随机变量及其分布 342

考点与要求 342

1 二维随机变量及其分布 342

内容精讲 342

例题分析 344

2 随机变量的独立性 349

内容精讲 349

例题分析 350

3 二维均匀分布和二维正态分布 358

内容精讲 358

例题分析 359

4 两个随机变量函数Z=g（X,Y）的分布 361

内容精讲 361

例题分析 362

第四章 随机变量的数字特征 367

考点与要求 367

1 随机变量的数学期望和方差 367

内容精讲 367

例题分析 369

2 矩、协方差和相关系数 376

内容精讲 376

例题分析 377

3 切比雪夫不等式 385

内容精讲 385

例题分析 385

第五章 大数定律和中心极限定理 386

考点与要求 386

内容精讲 386

例题分析 387

第六章 数理统计的基本概念 389

考点与要求 389

1 总体、样本、统计量和样本数字特征 389

内容精讲 389

例题分析 390

2 常用统计抽样分布和正态总体的抽样分布 392

内容精讲 392

例题分析 394

第七章 参数估计 399

考点与要求 399

1 点估计 399

内容精讲 399

例题分析 399

2 估计量求法 404

内容精讲 404

例题分析 405