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第1章 多元函数及其微分学 1

1.1 n维Euclid空间Rn 1

1.1.1 n维Euclid空间 2

1.1.2 n维Euclid空间中的开集与闭集 2

1.1.3 Rn中集合的连通性 4

1.1.4 Rn中的点列，点列的收敛性以及收敛点列的性质 4

1.1.5 Rn的进一步研究 6

习题1.1 7

1.2 n元函数与n元向量值函数 8

1.2.1 n元函数 8

1.2.2 Rn→Rm的向量值函数 10

习题1.2 12

1.3 多元函数（向量值函数）的极限与连续 13

1.3.1 向量值函数的极限 13

1.3.2 向量值函数的连续性 19

1.3.3 无穷小函数的阶 21

习题1.3 22

1.4 多元函数的全微分及偏导数 24

1.4.1 n元函数的全微分 24

1.4.2 偏导数、全微分的计算 27

1.4.3 方向导数、梯度 35

1.4.4 数量场的梯度 37

1.4.5 高阶偏导数 39

习题1.4 42

1.5 向量值函数 44

1.5.1 向量值函数的微分 44

1.5.2 可微复合向量值函数的微分 48

习题1.5 53

1.6 隐（向量值）函数、反（向量值）函数的存在性及其微分 55

习题1.6 65

1.7 曲面与曲线的表示法、切平面与切线 67

1.7.1 R3中的曲面 67

1.7.2 R3中的曲线 69

1.7.3 曲面的切平面和法线 70

1.7.4 空间曲线及其切线和法平面 74

习题1.7 78

1.8 Taylor公式 79

习题1.8 81

1.9 极值与条件极值 82

1.9.1 多元函数的极值 82

1.9.2 条件极值 87

习题1.9 93

第1章总复习题 95

第2章 含参积分及广义含参积分 98

2.1 预备知识 99

2.1.1 多元函数的一致连续性 99

2.1.2 广义积分的一致收敛性 100

习题2.1 103

2.2 由含参积分所定义函数的微积分性质 104

习题2.2 109

2.3 广义含参积分 110

习题2.3 115

第2章总复习题 115

第3章 重积分 117

3.1 矩形域上的二重积分 119

习题3.1 124

3.2 一般平面有界集合上的二重积分 125

习题3.2 127

3.3 二重积分的计算方法——累次积分法 128

3.3.1 矩形域上二重积分的计算 128

3.3.2 一般平面有界集上的二重积分计算——累次积分法 130

3.3.3 二重积分的变量代换法 135

3.3.4 二重积分在极坐标系下的累次积分法 138

习题3.3 143

3.4 三重积分 147

3.4.1 三重积分的可积性理论 147

3.4.2 三重积分的计算——累次积分法 148

3.4.3 三重积分的变量代换法 152

3.4.4 三重积分在柱坐标系下的累次积分 152

3.4.5 三重积分在球坐标系下的累次积分 154

习题3.4 160

3.5 重积分的应用 162

3.5.1 曲面的面积问题 162

3.5.2 物体的质心问题 165

3.5.3 转动惯量问题 168

3.5.4 引力问题 169

习题3.5 169

第3章总复习题 170

第4章 曲线积分与曲面积分 173

4.1 曲线与曲面 173

4.1.1 R2或R3中的C（1）类光滑的正则曲线 173

4.1.2 R3中的C（1）类光滑的正则曲面 174

4.1.3 曲线与曲面的定向 175

习题4.1 177

4.2 第一类曲线积分 177

习题4.2 182

4.3 第一类曲面积分 183

习题4.3 186

4.4 第二类曲线积分 187

习题4.4 191

4.5 第二类曲面积分 193

4.5.1 第二类曲面积分的定义和性质 193

4.5.2 第二类曲面积分的计算 196

习题4.5 201

4.6 平面向量场、Green公式 202

4.6.1 Green公式 202

4.6.2 平面第二类曲线积分与路径无关的条件，原函数 207

习题4.6 214

4.7 空间向量场、Gauss公式和Stokes公式 216

4.7.1 Gauss公式 216

4.7.2 Stokes公式、空间第二类曲线积分与路径无关的条件 219

习题4.7 226

第4章总复习题 229

第5章 常数项级数 231

5.1 无穷级数的收敛性 231

习题5.1 234

5.2 非负项级数的收敛性 235

习题5.2 245

5.3 任意项级数的收敛性 246

5.3.1 任意项级数的两种收敛性 246

5.3.2 交错项级数的收敛性 247

5.3.3 任意项级数的收敛性 250

5.3.4 无穷求和运算的结合律和交换律 253

习题5.3 257

5.4 无穷乘积 258

习题5.4 260

第5章总复习题 260

第6章 函数项级数 263

6.1 函数项级数的收敛性 263

6.1.1 函数项级数的逐点收敛性 263

6.1.2 函数项级数的一致收敛性 264

习题6.1 270

6.2 一致收敛函数项级数和函数的性质 271

习题6.2 281

6.3 幂级数、函数的幂级数展开 281

6.3.1 幂级数的收敛性与一致收敛性 282

6.3.2 无穷可导函数的幂级数展开 286

习题6.3 291

第6章总复习题 292

第7章 Fourier级数 295

7.1 形式Fourier级数 295

7.1.1 内积与内积空间 295

7.1.2 2π周期函数的形式Fourier级数 297

7.1.3 其他周期函数的形式Fourier级数 302

习题7.1 303

7.2 Fourier级数的性质及收敛性 303

7.2.1 Fourier级数的性质 303

7.2.2 形式Fourier级数的逐点收敛性 305

7.2.3 形式Fourier级数的平方平均距离 310

7.2.4 形式Fourier级数的最优性 311

7.2.5 形式Fourier级数的平方平均逼近 313

习题7.2 314

第7章总复习题 314

部分习题答案 316

索引 333