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第1章 绪论 1

1.1 数值计算及其特点 1

1.1.1 数值问题与数值计算 1

1.1.2 数值计算的特点 2

1.2 误差分析 4

1.2.1 误差的来源 4

1.2.2 绝对误差与相对误差 5

1.2.3 有效数字 6

1.3 稳定性概念与病态问题 8

1.3.1 数值稳定性 8

1.3.2 病态问题与条件数 11

本章小结 12

习题1 12

第2章 非线性方程的数值求解 14

2.1 二分法 14

2.1.1 二分法原理 14

2.1.2 二分法的计算步骤 15

2.2 不动点迭代法 16

2.2.1 不动点迭代 16

2.2.2 不动点迭代法的收敛性 18

2.3 牛顿法与割线法 22

2.3.1 牛顿迭代公式及其几何意义 22

2.3.2 牛顿迭代法的收敛性 25

2.3.3 割线法 25

2.3.4 牛顿法求解代数方程 27

2.4 迭代加速与改善 28

2.4.1 埃特金加速算法 28

2.4.2 牛顿法求重根时的改善 30

本章小结 32

习题2 32

第3章 方程组的迭代解法 35

3.1 向量和矩阵的范数 35

3.1.1 向量的范数 35

3.1.2 矩阵的范数 36

3.1.3 向量和矩阵序列的收敛性 38

3.2 线性方程组的迭代解法 39

3.2.1 雅可比迭代法 39

3.2.2 高斯-塞德尔迭代法 41

3.2.3 超松弛迭代法 43

3.3 迭代公式的矩阵表示 45

3.4 迭代法的收敛性判定 47

3.4.1 迭代法的收敛性 47

3.4.2 收敛判定定理 47

3.4.3 迭代法的误差估计 52

3.5 非线性方程组的迭代解法 53

3.5.1 非线性方程组的迭代格式 53

3.5.2 非线性方程组的牛顿迭代法 54

本章小结 55

习题3 56

第4章 线性方程组的直接解法 59

4.1 消去法 59

4.1.1 高斯消去法 59

4.1.2 高斯列主元素消去法 61

4.2 三角（LU）分解法 65

4.2.1 LU分解法 65

4.2.2 列主元LU分解法 71

4.2.3 追赶法 74

4.2.4 平方根法 77

4.3 直接法的误差分析 78

4.3.1 病态方程组 78

4.3.2 矩阵的条件数 79

4.4 近似解的精度改善 81

本章小结 83

习题4 83

第5章 插值方法 86

5.1 引言 86

5.1.1 插值问题 86

5.1.2 插值多项式的存在唯一性 87

5.1.3 基函数 88

5.2 拉格朗日插值法 89

5.2.1 线性插值 89

5.2.2 抛物线插值 90

5.2.3 n次拉格朗日插值 92

5.2.4 插值余项与误差估计 93

5.3 牛顿插值法 96

5.3.1 牛顿插值基函数 96

5.3.2 均差及其性质 97

5.3.3 n次牛顿插值公式 99

5.3.4 牛顿插值法的算法步骤 100

5.4 埃尔米特插值法 101

5.4.1 含有导数条件的插值 102

5.4.2 两点三次埃尔米特插值 103

5.5 分段低次插值 105

5.5.1 龙格现象 105

5.5.2 分段线性插值 106

5.5.3 分段三次埃尔米特插值 107

5.6 三次样条插值 107

5.6.1 三次样条插值函数及定解条件 107

5.6.2 三次样条插值函数的构造 109

本章小结 113

习题5 114

第6章 曲线拟合与函数逼近 116

6.1 引言 116

6.1.1 函数的内积与范数 116

6.1.2 曲线拟合与函数逼近的概念 118

6.2 曲线的最小二乘拟合 119

6.2.1 最小二乘拟合 119

6.2.2 最小二乘法方程的矩阵形式 122

6.2.3 最小二乘法的应用 125

6.3 基于正交多项式的曲线拟合 127

6.3.1 点集上的正交多项式 127

6.3.2 基于正交多项式的曲线拟合 131

6.4 最佳均方逼近 133

6.4.1 函数组的线性无关性 133

6.4.2 最佳均方逼近多项式的存在唯一性 134

6.5 基于正交多项式的最佳均方逼近 137

6.5.1 连续区间上的正交多项式 137

6.5.2 基于正交多项式的最佳均方逼近 140

本章小结 142

习题6 142

第7章 数值积分与数值微分 144

7.1 数值求积公式与代数精度 144

7.1.1 数值积分的基本思想 145

7.1.2 求积公式的代数精度 146

7.1.3 插值型求积公式 147

7.1.4 求积公式的收敛性与稳定性 148

7.2 牛顿-柯特斯求积公式 149

7.2.1 牛顿-柯特斯公式与柯特斯系数 149

7.2.2 偶数阶牛顿-柯特斯公式的代数精度 151

7.2.3 低阶牛顿-柯特斯公式的余项 151

7.2.4 复化求积公式及其余项 152

7.3 龙贝格求积公式 155

7.3.1 变步长求积公式 155

7.3.2 龙贝格算法 157

7.4 高斯求积公式 159

7.4.1 高斯求积公式与高斯点 159

7.4.2 高斯求积公式的构造 161

7.4.3 高斯-勒让德求积公式 162

7.4.4 高斯-切比雪夫求积公式 164

7.4.5 高斯-埃尔米特求积公式 165

7.4.6 高斯求积公式的余项及稳定性 166

7.5 数值微分 167

7.5.1 基于Taylor展式的微分公式 167

7.5.2 插值型微分公式 169

本章小结 170

习题7 171

第8章 常微分方程的数值解法 173

8.1 基本概念与基本求解途径 173

8.2 欧拉方法与局部截断误差 175

8.2.1 欧拉方法 175

8.2.2 单步法的局部截断误差和方法的阶 178

8.3 龙格-库塔方法 180

8.3.1 龙格-库塔方法的基本思想 180

8.3.2 常用龙格-库塔公式 182

8.4 单步法的收敛性与稳定性 185

8.4.1 单步法的收敛性 185

8.4.2 单步法的数值稳定性 188

8.5 线性多步法 191

8.5.1 线性多步法公式的构造 191

8.5.2 亚当姆斯公式 194

8.5.3 线性多步法预测-校正公式 197

8.6 一阶常微分方程组与高阶常微分方程的数值解法 198

8.6.1 一阶常微分方程组 199

8.6.2 高阶常微分方程 200

8.7 边值问题的差分法简介 200

本章小结 202

习题8 202

第9章 矩阵特征值的数值计算 205

9.1 特征值估计 205

9.1.1 盖尔圆 205

9.1.2 盖尔圆的分离 207

9.2 幂法及原点平移法 208

9.2.1 幂法 208

9.2.2 反幂法 211

9.2.3 原点平移法 212

9.3 矩阵的QR分解 216

9.3.1 初等反射变换 216

9.3.2 平面旋转变换 218

9.3.3 QR分解 219

9.4 QR算法 223

9.4.1 基本QR算法 223

9.4.2 两步QR算法 224

本章小结 226

习题9 227

参考文献 229