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第一部分 张量定义及其代数性质 1

第一章 张量定义及表示 3

1.1 多重线性函数 3

1.2 对偶基与向量的表示 4

1.2.1 对偶基 4

1.2.2 量的表示与基的转换 5

1.3 张量的表示 7

第二章 张量的运算性质 9

2.1 基本代数运算 9

2.2 置换运算与行列式 11

2.2.1 置换运算的定义与性质 12

2.2.2 线性代数中的若干应用 15

2.3 张量的外积运算 22

2.3.1 对称化算子与反称化算子 22

2.3.2 反对称张量的外积运算 24

2.3.3 外形式与反对称张量的表示 26

2.3.4 Eddington张量 35

2.4 Hodge星算子 37

第三章 仿射量的基本性质 40

3.1 仿射量的特征问题 40

3.1.1 仿射量的行列式 40

3.1.2 仿射量的特征问题与主不变量 43

3.1.3 仿射量的转置、迹与矩 47

3.2 谱分解 51

3.3 极分解 52

第二部分 有限维Euclid空间中体积上张量场场论 55

第四章 曲线坐标系 57

4.1 曲线坐标系基本概念 57

4.2 曲线坐标系的局部基运动方程 59

4.3 曲线坐标系下的速度、加速度表示形式 62

4.3.1 曲线与轨迹 62

4.3.2 速度 62

4.3.3 加速度 63

4.4 正交曲线坐标系应用事例 64

4.4.1 球坐标系 64

4.4.2 抛物线柱坐标系 66

4.4.3 椭圆柱坐标系 68

4.4.4 双极坐标系 70

第五章 张量场可微性 73

5.1 张量场与张量赋范线性空间 73

5.2 张量场可微性与张量分量协变导数 74

5.3 张量场的偏导数与张量场的微分型场论算子 77

5.3.1 张量场的偏导数 77

5.3.2 张量场的梯度 78

5.3.3 张量场的散度 78

5.3.4 张量场的旋度 79

第六章 场论恒等式 81

6.1 场论恒等式推演基本方法 81

6.2 场论恒等式推演事例 83

6.2.1 基本关系式 83

6.2.2 Helmholtz-Stokes分解 85

6.2.3 向量场旋度（涡量）相关恒等式 87

6.2.4 仿射量相关恒等式 87

6.2.5 若干代数关系式 90

第七章 旋转参照系下可压缩流动的守恒律方程 93

7.1 固定参照系及旋转参照系之间的基本关系式 93

7.2 质量守恒方程 98

7.3 动量守恒方程 98

7.4 能量守恒方程 100

第八章 时均分解下的流动方程 102

8.1 时间平均与协变导数之间的关系 102

8.2 可压缩流动情形湍流Favre平均方程 102

8.2.1 连续性方程 103

8.2.2 动量方程 103

8.2.3 应力方程 104

8.3 均质情形湍流平均方程 107

第九章 一般曲线坐标系应用事例 109

9.1 基本方法 109

9.2 事例：非规则上下表面的槽道流 110

9.2.1 微分同胚构造 110

9.2.2 基本几何量计算 111

9.2.3 均质湍流平均方程 112

9.3 事例：管径可变化轴对称圆管内流动 117

9.3.1 微分同胚构造 117

9.3.2 基本几何量计算 118

9.3.3 可压缩流动方程 120

9.4 事例：非规则柱形体绕流 130

9.4.1 微分同胚构造 130

9.4.2 基本几何量计算 131

9.5 事例：基于曲面的半正交系 133

9.5.1 微分同胚构造 133

9.5.2 基本几何量计算 135

9.5.3 旋转机械气动力学方程在曲面上的限制 137

9.6 事例：旋转机械叶片间流动 144

9.6.1 微分同胚构造 144

9.6.2 基本几何量计算 146

9.7 事例：非规则封闭曲面内部流动 149

9.7.1 微分同胚构造 149

9.7.2 基本几何量计算 150

第十章 积分关系式 152

10.1 线、面以及体积分之间的基本关系式 152

10.2 动量导数矩关系式 153

10.2.1 基本关系式 153

10.2.2 涡动力学中的应用事例 157

第十一章 曲线上张量场场论 159

11.1 Frenet标架及其运动方程 159

11.1.1 曲线与曲线的弧长 159

11.1.2 以弧长为参数的Frenet标架及其运动方程 160

11.1.3 一般形式的Frenet标架及其运动方程 163

11.1.4 曲线局部参数化 165

11.2 曲线上张量场微分学 166

第十二章 非完整基理论 168

12.1 完整基之间的相互关系 168

12.2 非完整基一般理论 171

12.3 从完整的正交系到非完整的单位正交系 174

12.4 弹性力学中的应用事例 176

12.4.1 基本方程 176

12.4.2 球坐标系 177

12.4.3 抛物线柱坐标系 182

12.4.4 旋转抛物面坐标系 187

12.5 流体力学中的应用事例 194

12.5.1 基本方程 194

12.5.2 球坐标系 194

12.5.3 抛物线柱坐标系 196

12.5.4 旋转抛物面坐标系 198

第十三章 张量多点表示形式 202

13.1 张量多点表示形式 202

13.2 张量场多点表示形式下的导数计算 202

13.3 张量场多点表示形式下的非完整基理论 203

13.3.1 张量三点表示形式下的非完整基 203

13.3.2 张量两点表示形式下的非完整基 205

第三部分 有限维Euclid空间中曲面上张量场场论 209

第十四章 曲面与曲面局部标架 211

14.1 曲面基本几何性质 211

14.1.1 曲面与切空间 211

14.1.2 曲面第一基本形式及曲面度量张量 212

14.1.3 曲面第二基本形式及曲面曲率张量 214

14.1.4 Gauss曲率和平均曲率 214

14.1.5 Gauss曲率及平均曲率的意义 216

14.1.6 二维Monge型曲面的Gauss曲率及平均曲率 218

14.2 曲面局部标架运动方程 221

14.3 曲面局部参数化 224

14.4 曲面截线及法截线曲率 228

14.4.1 曲面上的曲线 228

14.4.2 截线曲率 228

14.4.3 法截线曲率 230

第十五章 曲面上张量场微分学 232

15.1 曲面上张量场偏导数及曲面梯度算子 232

15.2 曲面上张量场可微性 234

15.3 Riemann-Christoffel张量 235

15.4 Levi-Civita梯度算子 241

第十六章 R3中二维曲面上积分关系式 242

16.1 内蕴形式广义Stokes公式 242

16.2 应用事例 244

16.2.1 软物质研究中的若干积分恒等式 244

16.2.2 板和壳内蕴理论中的控制方程 248

16.2.3 固定曲面上的流动控制方程 249

第十七章 曲面上仿射量 251

17.1 曲面上仿射量的代数性质 251

17.1.1 特征问题 251

17.1.2 谱分解 252

17.1.3 极分解 252

17.2 若干恒等式 253

第十八章 微分流形的概念、思想及方法 255

18.1 一般流形的定义 255

18.2 曲面的流形定义 260

18.3 流形上切向量、余切向量及张量 263

18.3.1 切向量 263

18.3.2 流形上的曲线 265

18.3.3 余切向量 267

18.3.4 张量 268

18.4 联络 270

18.4.1 切向量丛、余切向量丛及张量丛 270

18.4.2 一般向量丛及其上的联络 272

18.4.3 切丛上的联络 274

18.4.4 余切丛上的联络 276

18.4.5 张量丛上的联络 277

18.5 平行移动 279

18.6 外微分运算与里积运算 279

18.6.1 外微分运算 279

18.6.2 里积运算 281

18.7 同态扩张 284

18.8 Lie导数 293

18.8.1 Lie导数的定义 293

18.8.2 Lie导数的代数结构 303

18.9 Riemann流形 307

18.9.1 Riemann流形上的内积 307

18.9.2 Riemann流形上的联络 310

18.9.3 Riemann流形上的平行移动 312

18.10 活动标架理论及其应用 313

18.10.1 基本理论 313

18.10.2 相关应用 314

18.11 流形上的积分 316

18.11.1 流形上的第一类积分 316

18.11.2 流形上的第二类积分 317

18.11.3 单位1分解 321

18.11.4 流形上的Stokes公式 323

18.11.5 流形上Stokes公式的旋度流量形式 329

第四部分 体积形态连续介质力学的相关理论 333

第十九章 当前物理构型对应之曲线坐标系显含时间的有限变形理论 335

19.1 构型构造 335

19.2 变形梯度 336

19.3 变形刻画 338

19.4 输运定理 346

19.4.1 第二类输运定理 346

19.4.2 第一类输运定理 347

19.5 守恒律方程 348

19.5.1 质量守恒 348

19.5.2 动量守恒 348

19.5.3 动量矩守恒 349

19.5.4 能量守恒 350

19.6 应用事例 352

19.6.1 基本思想 352

19.6.2 曲线坐标系显含时间的涡量-流函数解法 355

第二十章 涡量动力学相关理论 358

20.1 涡量定义及其控制方程 358

20.2 物质系统的涡量定理 360

20.3 可变形边界上变形率张量 362

20.4 可变形边界上胀压量与涡量法向梯度 366

第二十一章 有限变形弹性力学相关理论及应用 370

21.1 弹性介质有限变形的Euler型控制方程 370

21.2 弹性介质有限变形的Lagrange型控制方程 370

21.3 事例：厚壁筒的轴对称变形 373

21.3.1 Lagrange型控制方程 373

21.3.2 Euler型控制方程 378

21.3.3 Lagrange型控制方程与Euler型控制方程的一致性 379

21.4 事例：厚球壳的膨胀与收缩 381

21.4.1 Lagrange型控制方程 381

21.4.2 Euler型控制方程 386

21.4.3 Lagrange型控制方程与Euler型控制方程的一致性 387

21.5 事例：立方体纯弯曲 389

21.5.1 Lagrange型控制方程 389

21.5.2 Euler型控制方程 395

21.5.3 Lagrange型控制方程与Euler型控制方程的一致性 396

21.6 事例：有限厚度圆板变形为开口厚球壳 398

21.6.1 Euler型控制方程 398

21.6.2 Lagrange型控制方程 402

第五部分 曲面形态连续介质力学的相关理论 407

第二十二章 几何形态为曲面的连续介质的有限变形理论 409

22.1 构型构造 409

22.2 变形梯度 410

22.3 变形刻画 415

22.4 输运定理 418

22.4.1 第二类输运定理 418

22.4.2 第一类输运定理 419

22.5 涡量定义及速度分解 419

22.6 守恒律方程 421

22.6.1 质量守恒 421

22.6.2 动量守恒 422

22.6.3 动量矩守恒 424

22.6.4 能量守恒 426

22.7 三维流动在二维曲面上的限制 427

第二十三章 固定曲面上二维流动涡量动力学基础 430

23.1 构型构造及Levi-Civita梯度算子 430

23.2 涡量定义及其控制方程 431

23.2.1 基本关系式 431

23.2.2 涡量控制方程 433

23.3 涡量动力学解法 434

23.3.1 Helmholtz-Stokes分解 434

23.3.2 胀压量及涡量控制方程 434

23.4 胀压量及涡量耦合关系式 435

23.5 固定壁面上变形率张量 436

23.6 不可压缩流动相关理论 439

23.6.1 流函数 439

23.6.2 流函数-涡量解法 439

23.6.3 压力控制方程 440

第二十四章 一般理论应用事例 442

24.1 膜的有限变形运动 442

24.2 海面油污扩散 444

24.2.1 质量守恒方程 444

24.2.2 动量守恒方程 444

第六部分 张量映照微分学 447

第二十五章 一般赋范线性空间上微分学 449

25.1 范数 449

25.2 映照极限及空间完备性 452

25.2.1 映照极限 452

25.2.2 空间的完备性 454

25.3 映照可微性及高阶导数 458

25.3.1 映照可微性 458

25.3.2 有限增量估计 461

25.3.3 高阶导数 464

25.4 向量值映照 471

25.5 无限小增量公式 484

25.6 隐映照定理和逆映照定理 485

25.6.1 完备度量空间上的压缩映照定理 485

25.6.2 由压缩映照定理获得隐映照定理 487

25.6.3 由压缩映照定理获得逆映照定理 491

25.6.4 由隐映照定理获得逆映照定理 495

25.7 有限维Euclid空间上隐映照定理和逆映照定理 496

25.7.1 Euclid空间上隐映照定理及其应用 496

25.7.2 Euclid空间上逆映照定理及其应用 500

第二十六章 变分基本理论及应用 510

26.1 一般理论 510

26.1.1 一阶变分 510

26.1.2 二阶变分 512

26.2 应用事例 515

第二十七章 张量赋范线性空间上微分学 519

27.1 张量空间的范数 519

27.2 可微性及导数计算 522

27.3 可微性的若干事例 525

27.4 隐映照定理和逆映照定理 528

27.4.1 张量值映照的隐映照定理 528

27.4.2 张量值映照的逆映照定理 530

27.5 变分若干事例 530

名词索引 535

插图目录 539

参考文献 542