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第1章 空间理论 1

1.1 距离空间 1

1.1.1 定义与例子 1

1.1.2 完备距离空间 3

1.1.3 开集与闭集 7

1.1.4 可分距离空间 8

1.1.5 连续映射 9

1.1.6 列紧空间 11

1.1.7 压缩映射原理 15

习题1.1 18

1.2 赋范线性空间 21

1.2.1 定义与例子 21

1.2.2 有限维赋范线性空间 25

习题1.2 28

1.3 内积空间 32

1.3.1 内积空间的概念与基本性质 32

1.3.2 正交分解 36

1.3.3 正规正交系 38

习题1.3 44

1.4 拓扑空间简介 46

1.4.1 拓扑空间 46

1.4.2 连续映射与同胚 48

第2章 Banach空间上的有界线性算子理论 49

2.1 有界线性算子 50

2.1.1 定义、例子与基本性质 50

2.1.2 有界线性算子的范数 54

2.1.3 算子空间与Banach代数 58

习题2.1 61

2.2 Hahn-Banach延拓定理 63

2.2.1 线性泛函的延拓 63

2.2.2 有界线性泛函的存在性 68

习题2.2 69

2.3 有界线性泛函的表示 70

2.3.1 n维空间Kn上的有界线性泛函 70

2.3.2 lp（K）（1＜p＜∞）上的有界线性泛函 71

2.3.3 Lp［a,b］（1＜p＜∞）上的有界线性泛函 73

2.3.4 C［a,b］上的有界线性泛函 77

2.3.5 Hilbert空间上有界线性泛函的表示 77

习题2.3 78

2.4 共轭空间与共轭算子 79

2.4.1 共轭空间 79

2.4.2 共轭算子 83

习题2.4 86

2.5 Banach逆算子定理 88

2.5.1 逆算子的概念与基本性质 88

2.5.2 逆算子的有界性 89

习题2.5 94

2.6 闭图像定理与一致有界原理 95

2.6.1 闭算子与闭图像定理 95

2.6.2 一致有界原理及其应用 97

习题2.6 99

2.7 强弱收敛与弱-收敛 100

2.7.1 点列的弱收敛 100

2.7.2 算子列的强、弱收敛 102

2.7.3 泛函列的强、弱收敛与弱-收敛 105

习题2.7 106

2.8 紧算子 107

2.8.1 定义与例子 107

2.8.2 紧算子的性质 108

习题2.8 111

第3章 非线性算子 113

3.1 连续性与有界性 113

3.1.1 定义与例子 113

3.1.2 连续算子的性质 114

3.1.3 一类复合算子的连续性与有界性 115

习题3.1 117

3.2 紧性与全连续性 119

3.2.1 定义与基本性质 119

3.2.2 全连续算子的结构 120

习题3.2 124

3.3 抽象函数的导数 124

3.3.1 实变抽象函数的导数 124

3.3.2 复变抽象函数的导数 127

习题3.3 130

3.4 抽象函数的积分 130

3.4.1 定义 130

3.4.2 可积条件 131

3.4.3 运算性质 134

习题3.4 135

3.5 Fréchet导算子 136

3.5.1 定义与性质 136

3.5.2 中值定理与导算子的全连续性 143

3.5.3 高阶导算子与Taylor公式 145

习题3.5 149

3.6 G？teaux导算子 150

3.6.1 定义与性质 150

3.6.2 两种微分之间的关系 151

习题3.6 156

3.7 偏导算子与隐算子定理 156

3.7.1 偏导算子 157

3.7.2 隐算子存在定理 159

3.7.3 反算子存在定理 164

习题3.7 165

附录 167

1．半序集与Zorn引理 167

1.1 概念与例子 167

1.2 Zorn引理 168

2．泛函延拓定理的证明 170

3．算子谱论简介 171

3.1 正则点与谱点 171

3.2 谱半径 173

3.3 紧算子的谱理论 173

4．Hilbert空间上的有界线性算子简介 173

4.1 Hilbert空间上算子的共轭算子 173

4.2 自伴算子、投影算子、正规算子与酉算子 174

参考书目 175