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第一篇 高等数学 3

第一章 函数 极限 连续 3

考点与要求 3

1 函数 3

内容精讲 3

一、定义 3

二、重要性质、定理、公式 5

例题分析 6

一、求分段函数的复合函数 6

二、关于函数有界（无界）的讨论 7

2 极限 8

内容精讲 8

一、定义 8

二、重要性质、定理、公式 9

三、计算极限的一些有关方法 10

例题分析 12

一、求函数的极限 13

二、已知极限值求其中的某些参数，或已知极限求另一与此有关的某极限 18

三、含有｜x｜,e1/x的x→0时的极限，含有取整函数［x］的x趋于整数时的极限 21

四、无穷小的比较 21

五、数列的极限 22

六、极限运算定理的正确运用 26

3 函数的连续与间断 28

内容精讲 28

一、定义 28

二、重要性质、定理、公式 29

例题分析 30

一、讨论函数的连续与间断 30

二、在连续条件下求参数 30

三、连续函数的零点问题 31

第二章 一元函数微分学 32

考点与要求 32

1 导数与微分，导数的计算 32

内容精讲 32

一、定义 32

二、重要性质、定理、公式 33

例题分析 36

一、按定义求一点处的导数 36

二、已知f（x）在某点x=x0处可导，求与此有关的某极限或其中某参数，或已知某极限求f（x）在x=x0处的导数 38

三、绝对值函数的导数 42

四、由极限式表示的函数的可导性 43

五、导数与微分、增量的关系 44

六、求导数的计算题 44

2 导数的应用 46

内容精讲 46

一、定义 46

二、重要性质、定理、公式与方法 47

例题分析 49

一、增减性、极值、凹凸性、拐点的讨论 49

二、渐近线 51

三、曲率与曲率圆 52

四、最大值、最小值问题 52

3 中值定理、不等式与零点问题 54

内容精讲 54

一、重要定理 54

二、重要方法 55

例题分析 56

一、不等式的证明 56

二、f（x）的零点与f′（x）的零点问题 61

三、复合函数ψ（x,f（x），f′（x））的零点 63

四、复合函数ψ（x,f（x），f′（x），f″（x））的零点 64

五、“双中值”问题 65

六、零点的个数问题 66

七、证明存在某ξ满足某不等式 67

八、利用中值定理求极限、f′（x）与f（x）的一些极限性质的关系 68

第三章 一元函数积分学 70

考点与要求 70

1 不定积分与定积分的概念、性质、理论 70

内容精讲 70

一、定义 70

二、重要性质、定理、公式 71

例题分析 72

一、分段函数的不定积分与定积分 72

二、定积分与原函数的存在性 74

三、奇、偶函数、周期函数的原函数及变限积分 75

2 不定积分与定积分的计算 78

内容精讲 78

一、基本积分公式 78

二、基本积分方法 79

例题分析 81

一、简单有理分式的积分 81

二、三角函数的有理分式的积分 82

三、简单无理式的积分 82

四、两种不同类型的函数相乘的积分 84

五、被积函数中含有导数或变限函数的积分 85

六、对称区间上的定积分，周期函数的定积分 86

七、含参变量带绝对值号的定积分 88

八、积分计算杂例 89

3 反常积分及其计算 91

内容精讲 91

一、定义 91

二、重要性质、定理、公式 92

例题分析 93

一、反常积分的计算与反常积分的敛散性 93

二、关于奇、偶函数的反常积分 95

4 定积分的应用 96

内容精讲 96

一、基本方法 96

二、重要几何公式与物理应用 97

例题分析 98

一、几何应用 98

二、物理应用 101

5 定积分的证明题 105

内容精讲 105

例题分析 105

一、讨论变限积分所定义的函数的奇偶性、周期性、极值、单调性等 105

二、由积分定义的函数求极限 107

三、积分不等式的证明 108

四、零点问题 114

第四章 向量代数与空间解析几何 117

考点与要求 117

1 　向量代数 117

内容精讲 117

一、与向量有关的基本概念 117

二、向量的运算及性质 118

例题分析 119

一、向量的运算 119

二、向量运算的应用及向量的位置关系 121

2 平面与直线 122

内容精讲 122

一、平面方程 122

二、直线方程 122

三、平面与直线间的位置关系 123

例题分析 124

一、建立平面方程 124

二、建立直线方程 125

三、与平面和直线的位置关系有关的问题 127

3 空间曲面与曲线 130

内容精讲 130

一、旋转面及其方程 130

二、柱面及其方程 130

三、常见的二次曲面及图形 131

四、空间曲线及其方程 132

五、空间曲线的投影 132

例题分析 132

一、建立柱面方程 132

二、建立旋转面方程 133

三、建立空间曲线的投影曲线方程 135

第五章 多元函数微分学 136

考点与要求 136

1 多元函数的极限、连续、偏导数与全微分（概念） 136

内容精讲 136

一、多元函数 136

二、二元函数的极限与连续 137

三、二元函数的偏导数与全微分 137

例题分析 139

一、讨论二重极限 139

二、讨论二元函数的连续性、偏导数存在性 141

三、讨论二元函数的可微性 142

2 多元函数的微分法 146

内容精讲 146

一、复合函数的偏导数与全微分 146

二、隐函数的偏导数与全微分 148

例题分析 148

一、求复合函数的偏导数与全微分 148

二、求隐函数的偏导数与全微分 157

3 极值与最值 162

内容精讲 162

一、无条件极值 162

二、条件极值 163

例题分析 163

一、无条件极值问题 163

二、条件极值（最值）问题 166

三、多元函数的最大（小）值问题 167

4 方向导数与梯度多元微分在几何上的应用泰勒定理 172

内容精讲 172

一、方向导数 172

二、梯度 172

三、曲面的切平面与法线 173

四、曲线的切线和法平面 173

五、泰勒定理 174

例题分析 174

一、有关方向导数与梯度 174

二、有关曲面的切平面和曲线的切线 177

三、泰勒定理 179

第六章 多元函数积分学 180

考点与要求 180

1 重积分 180

内容精讲 180

一、二重积分 180

二、三重积分 183

例题分析 185

一、计算二重积分 185

二、累次积分交换次序及计算 194

三、与二重积分有关的综合题 197

四、与二重积分有关的积分不等式问题 199

五、计算三重积分 202

六、三重积分的累次积分 205

2 曲线积分 206

内容精讲 206

一、对弧长的线积分（第一类线积分） 206

二、对坐标的线积分（第二类线积分） 207

例题分析 209

一、对弧长的线积分（第一类线积分） 209

二、对坐标的线积分（第二类线积分） 211

3 曲面积分 220

内容精讲 220

一、对面积的面积分（第一类面积分） 220

二、对坐标的面积分（第二类面积分） 221

例题分析 223

一、对面积的面积分（第一类面积分） 223

二、对坐标的面积分（第二类面积分） 225

4 场论初步 231

内容精讲 231

一、梯度（详见第五章 第4节 之二） 231

二、通量 231

三、散度 231

四、旋度 231

例题分析 232

一、梯度、旋度、散度的计算 232

5 多元积分的应用 233

内容精讲 233

例题分析 234

一、几何应用 234

二、求物理量 235

第七章 无穷级数 239

考点与要求 239

1 常数项级数 239

内容精讲 239

一、级数的概念与性质 239

二、级数的判敛准则 240

例题分析 241

一、正项级数敛散性的判定 241

二、交错级数敛散性的判定 245

三、任意项级数敛散性判定 246

四、有关常数项级数的证明题与综合题 251

2 幂级数 256

内容精讲 256

一、函数项级数及收敛域与和函数 256

二、幂级数的收敛半径，收敛区间及收敛域 257

三、幂级数的性质 258

四、函数的幂级数展开 258

例题分析 259

一、求幂级数的收敛域 259

二、将函数展开为幂级数 262

三、级数求和 265

3 傅里叶级数 270

内容精讲 270

一、三角函数及其正交性 270

二、傅里叶级数 270

三、收敛性定理 270

四、周期为2π的函数的傅里叶展开 271

五、周期为2l的函数的傅里叶展开 271

例题分析 272

一、有关收敛定理的问题 272

二、将函数展开为傅里叶级数 273

第八章 微分方程 275

考点与要求 275

1 微分方程的概念，一阶与可降阶的二阶方程的解法 275

内容精讲 275

一、定义 275

二、几种特殊类型的一阶微分方程及其解法 276

例题分析 278

一、识别类型，对号入座，按类型求解（基本题） 278

二、与全微分方程（或与路径无关）有关的问题 279

三、积分方程化为微分方程求解 280

四、偏微分方程化为常微分方程求解 282

五、某些很特殊的函数方程化成微分方程求解 283

2 二阶及高阶线性微分方程 284

内容精讲 284

一、定义 284

二、重要性质、定理、公式 284

例题分析 286

一、识别类型，对号入座，按类型求解 286

二、用变量代换解微分方程 289

三、自由项为分段函数或含有绝对值号的非齐次线性微分方程求解 290

四、写出常系数线性非齐次方程的特解形式 290

五、已知方程的解求方程 291

六、一般二阶线性非齐次微分方程的解与对应齐次方程的解的关系 292

七、欧拉方程求解 293

3 微分方程的应用 294

内容精讲 294

一、几何问题 294

二、变化率问题 294

三、牛顿第二定律或运动等问题 295

四、微元法建立微分方程 296

第二篇 线性代数 299

第一章 行列式 299

考点与要求 299

内容精讲 299

例题分析 302

一、数字型行列式的计算 302

二、抽象型行列式的计算 308

三、行列式｜A｜是否为零的判定 310

四、关于代数余子式求和 310

第二章 矩阵 313

考点与要求 313

内容精讲 313

1 矩阵的概念及运算 313

一、矩阵的概念 313

二、矩阵的运算 314

三、矩阵的运算规则 314

四、特殊矩阵 315

2 可逆矩阵 316

一、可逆矩阵的概念 316

二、n阶矩阵A可逆的充分必要条件 316

三、逆矩阵的运算性质 316

四、求逆矩阵的方法 316

3 初等变换、初等矩阵 317

一、定义 317

二、初等矩阵与初等变换的性质 317

4 矩阵的秩 318

一、矩阵秩的概念 318

二、矩阵秩的公式 318

5 分块矩阵 319

一、分块矩阵的概念 319

二、分块矩阵的运算 319

例题分析 320

一、矩阵的概念及运算 320

二、特殊方阵的幂 324

三、伴随矩阵的相关问题 326

四、可逆矩阵的相关问题 329

五、初等变换、初等矩阵 332

六、矩阵秩的计算 333

第三章 向量 338

考点与要求 338

内容精讲 338

1 n维向量的概念与运算 338

2 线性表出、线性相关 339

3 极大线性无关组、秩 340

4 Schmidt正交化、正交矩阵 341

5 向量空间 341

例题分析 343

一、线性相关的判别 343

二、向量的线性表示 344

三、线性相关与线性无关的证明 346

四、秩与极大线性无关组 349

五、正交化、正交矩阵 351

六、向量空间 352

第四章 线性方程组 355

考点与要求 355

内容精讲 355

1 克拉默法则 355

2 齐次线性方程组 356

3 非齐次线性方程组 357

例题分析 359

一、线性方程组的基本概念题 359

二、线性方程组的求解 362

三、基础解系 368

四、AX=0的系数行向量和解向量的关系，由AX=0的基础解系反求A 370

五、线性方程组中系数矩阵的列向量和解向量的关系 371

六、两个方程组的公共解 373

七、同解方程组 374

八、线性方程组的有关杂题 376

第五章 特征值、特征向量、相似矩阵 379

考点与要求 379

内容精讲 379

1 特征值、特征向量 379

一、特征值，特征向量 379

二、特征方程、特征多项式、特征矩阵 379

三、特征值的性质 379

四、求特征值、特征向量的方法 380

2 相似矩阵、矩阵的相似对角化 380

一、相似矩阵 380

二、矩阵可相似对角化的充分必要条件 380

三、相似矩阵的性质及相似矩阵的必要条件 381

3 实对称矩阵的相似对角化 381

一、实对称阵 381

二、实对称阵的特征值，特征向量及相似对角化 381

三、实对称矩阵正交相似于对角阵的步骤 381

例题分析 382

一、特征值，特征向量的求法 382

二、两个矩阵有相同的特征值的证明 386

三、关于特征向量 387

四、矩阵是否相似于对角阵的判别 387

五、利用特征值、特征向量及相似矩阵确定参数 390

六、由特征值、特征向量反求A 390

七、矩阵相似及相似标准形 392

八、相似对角阵的应用 397

第六章 二次型 401

考点与要求 401

内容精讲 401

1 二次型的概念、矩阵表示 401

一、二次型概念 401

二、二次型的矩阵表示 401

2 化二次型为标准形、规范形 合同二次型 402

一、二次型的标准形，规范形 402

二、化二次型为标准形，规范形 403

三、合同矩阵，合同二次型 403

3 正定二次型、正定矩阵 404

例题分析 404

一、二次型的矩阵表示 404

二、化二次型为标准形 406

三、合同矩阵、合同二次型 410

四、正定性的判别 413

五、正定二次型的证明 415

六、综合杂题 416

第三篇 概率论与数理统计 421

第一章 随机事件和概率 421

考点与要求 421

1 事件、样本空间、事件间的关系与运算 421

内容精讲 421

例题分析 423

2 概率、条件概率、独立性和五大公式 425

内容精讲 425

例题分析 427

3 古典概型与伯努利概型 431

内容精讲 431

例题分析 432

第二章 随机变量及其概率分布 435

考点与要求 435

1 随机变量及其分布函数 435

内容精讲 435

例题分析 436

2 离散型随机变量和连续型随机变量 437

内容精讲 437

例题分析 438

3 常用分布 439

内容精讲 439

例题分析 442

4 随机变量函数的分布 445

内容精讲 445

例题分析 446

第三章 多维随机变量及其分布 448

考点与要求 448

1 二维随机变量及其分布 448

内容精讲 448

例题分析 450

2 随机变量的独立性 455

内容精讲 455

例题分析 456

3 二维均匀分布和二维正态分布 462

内容精讲 462

例题分析 463

4 两个随机变量函数Z=g（X,Y）的分布 466

内容精讲 466

例题分析 467

第四章 随机变量的数字特征 472

考点与要求 472

1 随机变量的数学期望和方差 472

内容精讲 472

例题分析 474

2 矩、协方差和相关系数 481

内容精讲 481

例题分析 482

第五章 大数定律和中心极限定理 489

考点与要求 489

内容精讲 489

例题分析 490

第六章 数理统计的基本概念 492

考点与要求 492

1 总体、样本、统计量和样本数字特征 492

内容精讲 492

例题分析 493

2 常用统计抽样分布和正态总体的抽样分布 495

内容精讲 495

例题分析 497

第七章 参数估计 501

考点与要求 501

1 点估计 501

内容精讲 501

例题分析 501

2 估计量的求法和区间估计 506

内容精讲 506

例题分析 508

第八章 假设检验 512

考点与要求 512

内容精讲 512

例题分析 513