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1 概率与计数 1

1.1 为什么要学概率论？ 1

1.2 样本空间与鹅卵石世界 3

1.3 概率的朴素定义 6

1.4 如何计算概率 8

1.5 故事性证明 19

1.6 概率的非朴素定义 20

1.7 要点重述 25

1.8 R软件应用示例 27

1.9 练习题 31

2 条件概率 41

2.1 有条件地思考问题的重要性 41

2.2 定义与直观解释 42

2.3 贝叶斯准则与全概率公式 47

2.4 条件概率是概率 53

2.5 事件的独立性 56

2.6 贝叶斯准则的一致性 59

2.7 条件化作为一种解决问题的工具 60

2.8 陷阱与悖论 66

2.9 要点重述 70

2.10 R软件应用示例 72

2.11 练习题 74

3 随机变量及其分布 91

3.1 随机变量 91

3.2 分布函数与概率质量函数 94

3.3 伯努利分布及二项分布 100

3.4 超几何分布 103

3.5 离散均匀分布 106

3.6 累积分布函数 108

3.7 随机变量函数的分布 110

3.8 随机变量的独立性 117

3.9 二项分布与超几何分布之间的联系 121

3.10 要点重述 124

3.11 R软件应用示例 126

3.12 练习题 128

4 数学期望 137

4.1 期望的定义 137

4.2 期望的线性性质 140

4.3 几何分布与负二项分布 144

4.4 示性随机变量与基本桥梁 151

4.5 无意识的统计规律（LOTUS） 156

4.6 方差 157

4.7 泊松分布 161

4.8 泊松分布和二项分布之间的联系 165

4.9 采用概率与期望证明存在性 168

4.10 要点重述 174

4.11 R软件应用示例 175

4.12 练习题 178

5 连续型随机变量 195

5.1 概率密度函数 195

5.2 均匀分布 201

5.3 均匀分布的普适性 205

5.4 正态分布 211

5.5 指数分布 217

5.6 泊松过程 222

5.7 独立同分布的连续型随机变量的对称性 225

5.8 要点重述 226

5.9 R软件应用示例 228

5.10 练习题 231

6 矩 243

6.1 分布的数字特征 243

6.2 矩的解释 248

6.3 样本矩 252

6.4 矩量母函数 255

6.5 由矩量母函数得到生成矩 259

6.6 通过矩量母函数讨论独立随机变量的和 261

6.7 概率母函数 262

6.8 要点重述 267

6.9 R软件应用示例 267

6.10 练习题 272

7 联合分布 277

7.1 联合、边缘和条件分布 278

7.2 二维LOTUS 298

7.3 协方差与相关性 300

7.4 多项式分布 306

7.5 多元正态分布 309

7.6 要点重述 316

7.7 R软件应用示例 318

7.8 练习题 320

8 变换 339

8.1 变量的变换 341

8.2 卷积 346

8.3 贝塔分布 351

8.4 伽马分布 356

8.5 贝塔分布与伽马分布之间的联系 365

8.6 顺序统计量 367

8.7 要点重述 370

8.8 R软件应用示例 373

8.9 练习题 375

9 条件期望 383

9.1 给定事件的条件期望 383

9.2 给定随机变量的条件期望 392

9.3 条件期望的性质 394

9.4 条件期望的几何解释 399

9.5 条件方差 400

9.6 亚当与夏娃的例子 402

9.7 要点重述 407

9.8 R软件应用示例 408

9.9 练习题 410

10 不等式与极限定 421

10.1 不等式 422

10.2 大数定理 431

10.3 中心极限定理 435

10.4 卡方分布与学生t分布 441

10.5 要点重述 445

10.6 R软件应用示例 447

10.7 练习题 450

11 马尔可夫链 459

11.1 马尔可夫性质与转移矩阵 459

11.2 状态分类 465

11.3 平稳分布 469

11.4 可逆性 475

11.5 要点重述 480

11.6 R软件应用示例 481

11.7 练习题 484

12 马尔可夫链蒙特卡罗方法 495

12.1 Metropolis-Hastings方法 496

12.2 Gibbs采样 508

12.3 要点重述 515

12.4 R软件应用示例 515

12.5 练习题 517

13 泊松过程 519

13.1 一维泊松过程 519

13.2 条件化、叠加性、稀疏化 521

13.3 多维泊松过程 532

13.4 要点重述 534

13.5 R软件应用示例 534

13.6 练习题 536

A 数学基础 541

A.1 集合 541

A.2 函数 545

A.3 矩阵 550

A.4 差分方程 552

A.5 微分方程 553

A.6 偏导数 554

A.7 多重积分 554

A.8 求和 556

A.9 模式识别 558

A.10 常识与核对答案 558

B R软件 561

B.1 向量 561

B.2 矩阵 562

B.3 数学运算 563

B.4 抽样与仿真 563

B.5 作图 564

B.6 编程 564

B.7 统计量汇总 564

B.8 分布 565

C 分布列表 567

参考文献 569

索引 571