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第14章 多元函数的极限和连续性 1

14.1 Rm中的点列和点集 1

14.1.1 Rm中的运算和距离 1

14.1.2 Rm中点列的极限 3

14.1.3 Rm中的点集 5

14.1.4几个重要定理 7

习题14.1 10

14.2多元函数的概念 12

14.3多元函数的极限 16

14.3.1沿集合S的极限和全极限 16

14.3.2方向极限和沿曲线的极限 21

14.3.3累次极限 24

14.3.4向量函数的极限 27

习题14.3 29

14.4多元连续函数 31

14.4.1多元函数连续性的定义与运算 31

14.4.2多元连续函数的性质 33

习题14.4 38

第15章 多元数量函数的微分学 41

15.1偏导数和全微分 41

15.1.1偏导数 41

15.1.2全微分 45

15.1.3全微分与偏导数的关系 46

习题15.1 50

15.2方向导数和梯度 52

15.2.1方向导数 52

15.2.2梯度 53

15.2.3微分中值定理 55

习题15.2 56

15.3复合函数的偏导数和隐函数定理 57

15.3.1复合函数的偏导数 57

15.3.2复合函数的全微分 60

15.3.3隐函数的偏导数和隐函数定理 61

习题153 67

15.4高阶偏导数和泰勒公式 70

15.4.1高阶偏导数和高阶全微分 70

15.4.2m重指标和高阶偏导数的简写记号 75

15.4.3泰勒公式 77

习题15.4 79

15.5微分学的几何应用 83

习题15.5 86

第16章 多元向量函数的微分学 89

16.1线性变换与矩阵分析初步 89

16.1.1线性变换与矩阵的代数理论 89

16.1.2线性变换与矩阵的范数 93

16.1.3可逆矩阵的摄动定理 97

习题16.1 99

16.2多元向量函数的偏导数与全微分 100

习题16.2 105

16.3隐函数定理和反函数定理 106

16.3.1压缩映射原理 106

16.3.2隐函数定理 107

16.3.3反函数定理 111

16.3.4满射定理和单射定理 112

习题16.3 114

第17章 多元函数的极值 118

17.1简单极值问题 118

习题17.1 123

17.2条件极值问题 125

17.2.1求稳定点的拉格朗日乘数法 125

17.2.2拉格朗日乘数法的几何解释 133

习题17.2 136

第18章 含参变量的积分 139

18.1含参变量的定积分 139

习题18.1 146

18.2含参变量的广义积分 149

18.2.1含参量广义积分的一致收敛 149

18.2.2含参量广义积分的性质 153

习题18.2 161

18.3欧拉积分 164

18.3.1伽马函数 164

18.3.2贝塔函数 165

习题18.3 169

第19章 重积分 171

19.1 Rm中点集的若尔当测度 171

19.1.1若尔当测度的定义 172

19.1.2若尔当可测的等价条件 175

19.1.3若尔当测度的运算性质 177

习题19.1 180

19.2重积分的定义和性质 182

19.2.1重积分的定义 182

19.2.2函数可积的达布准则 185

19.2.3重积分的性质 187

习题19.2 188

19.3重积分的计算 189

19.3.1化重积分为累次积分 189

19.3.2二重积分的计算 191

19.3.3三重积分的计算 195

19.3.4m重积分的计算 198

习题19.3 201

19.4重积分的变元变换 204

19.4.1变元变换的一般公式 204

19.4.2一些常用的积分变元变换 210

19.4.3 m维球坐标变换 218

习题19.4 221

19.5曲面的面积 224

习题19.5 229

19.6重积分的物理应用 229

19.6.1质心的计算 230

19.6.2转动惯量的计算 231

19.6.3万有引力的计算 232

习题19.6 234

第20章 曲线积分和曲面积分 235

20.1第一型曲线积分和曲面积分 235

20.1.1第一型曲线积分 236

20.1.2第一型曲面积分 239

20.1.3物理应用 242

习题20.1 244

20.2第二型曲线积分和曲面积分 246

20.2.1第二型曲线积分 247

20.2.2第二型曲面积分 254

习题20.2 261

20.3三个重要公式 265

20.3.1格林公式 265

20.3.2高斯公式 269

20.3.3斯托克斯公式 273

习题20.3 276

第21章 广义重积分和含参量的重积分 279

21.1广义重积分和含参量的重积分 279

21.1.1广义重积分 279

21.1.2含参变量的重积分 284

习题21.1 287

21.2函数的磨光及其应用 290

21.2.1函数的磨光 290

21.2.2截断函数和单位分解定理 297

21.2.3延拓定理 299

习题212 303

第22章 场论初步 305

22.1关于场的基本概念 305

22.1.1等值面和积分曲线 306

22.1.2方向导数和梯度 梯度场和势函数 309

习题22.1 313

22.2向量场的通量和散度 314

22.2.1向量场的通量 314

22.2.2向量场的散度 316

22.2.3无源场及其性质 318

习题22.2 319

22.3向量场的环量和旋度 320

22.3.1向量场的环量 320

22.3.2向量场的旋度 321

22.3.3无旋场及其性质 323

习题22.3 325

22.4一些重要定理 326

22.4.1梯度、散度和旋度联合的一些运算公式 326

22.4.2保守场及其等价条件 327

22.4.3亥姆霍兹分解定理 330

习题22.4 337

22.5平面和曲面上的向量场 338

22.5.1平面上的向量场 338

22.5.2曲面上的向量场 340

习题22.5 342

第23章 微分形式和斯托克斯公式 343

23.1反对称多线性函数和外积 343

23.1.1反对称多线性函数 343

23.1.2外积运算 349

习题23.1 350

23.2微分形式和外微分 351

23.2.1微分形式 351

23.2.2外微分运算 353

23.2.3闭形式和恰当形式 356

习题23.2 360

23.3微分形式的变元变换和积分 361

23.3.1微分形式的变元变换 361

23.3.2微分形式的积分 367

习题23.3 376

23.4斯托克斯公式 379

23.4.1微分流形 379

23.4.2流形上的积分 386

23.4.3斯托克斯公式 388

习题23.4 391

综合习题 393

参考文献 408