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专题1 函数与极限 1

1.1 基本概念与内容提要 1

1.1.1 一元函数基本概念 1

1.1.2 数列的极限 1

1.1.3 函数的极限 1

1.1.4 证明数列或函数极限存在的方法 2

1.1.5 无穷小量 2

1.1.6 无穷大量 3

1.1.7 求数列或函数的极限的方法 3

1.1.8 函数的连续性 3

1.2 竞赛题与精选题解析 4

1.2.1 求函数的表达式（例1.1—1.3） 4

1.2.2 利用四则运算求极限（例1.4—1.16） 6

1.2.3 利用夹逼准则与单调有界准则求极限（例1.17—1.26） 12

1.2.4 利用两个重要极限求极限（例1.27—1.30） 18

1.2.5 利用等价无穷小因子代换求极限（例1.31—1.33） 20

1.2.6 无穷小比较与无穷大比较（例1.34—1.35） 20

1.2.7 连续性与间断点（例1.36—1.41） 21

1.2.8 利用介值定理的证明题（例1.42—1.46） 23

练习题一 26

专题2 一元函数微分学 28

2.1 基本概念与内容提要 28

2.1.1 导数的定义 28

2.1.2 左、右导数的定义 28

2.1.3 微分概念 28

2.1.4 基本初等函数的导数公式 29

2.1.5 求导法则 29

2.1.6 高阶导数 29

2.1.7 微分中值定理 30

2.1.8 泰勒公式与马克劳林公式 30

2.1.9 洛必达法则 31

2.1.10 导数在几何上的应用 32

2.2 竞赛题与精选题解析 33

2.2.1 利用导数的定义解题（例2.1—2.8） 33

2.2.2 利用求导法则解题（例2.9—2.11） 38

2.2.3 求高阶导数（例2.12—2.23） 39

2.2.4 与微分中值定理有关的证明题（例2.24—2.42） 44

2.2.5 马克劳林公式与泰勒公式的应用（例2.43—2.63） 55

2.2.6 利用洛必达法则求极限（例2.64—2.75） 69

2.2.7 导数在几何上的应用（例2.76—2.93） 73

2.2.8 不等式的证明（例2.94—2.103） 82

练习题二 89

专题3 一元函数积分学 92

3.1 基本概念与内容提要 92

3.1.1 不定积分基本概念 92

3.1.2 基本积分公式 92

3.1.3 不定积分的计算 93

3.1.4 定积分基本概念 94

3.1.5 定积分中值定理 94

3.1.6 变限的定积分 94

3.1.7 定积分的计算 95

3.1.8 奇偶函数与周期函数定积分的性质 95

3.1.9 定积分在几何与物理上的应用 95

3.1.10 反常积分 97

3.2 竞赛题与精选题解析 98

3.2.1 求原函数（例3.1—3.4） 98

3.2.2 求不定积分（例3.5—3.18） 100

3.2.3 利用定积分的定义求极限（例3.19—3.25） 104

3.2.4 应用积分中值定理解题（例3.26—3.28） 109

3.2.5 变限的定积分的应用（例3.29—3.44） 111

3.2.6 定积分的计算（例3.45—3.63） 119

3.2.7 定积分在几何与物理上的应用（例3.64—3.76） 127

3.2.8 积分不等式的证明（例3.77—3.102） 136

3.2.9 积分等式的证明（例3.103—3.105） 153

3.2.10 反常积分（例3.106—3.114） 156

练习题三 162

专题4 多元函数微分学 165

4.1 基本概念与内容提要 165

4.1.1 二元函数的极限与连续性 165

4.1.2 偏导数与全微分 165

4.1.3 多元复合函数与隐函数的偏导数 166

4.1.4 高阶偏导数 168

4.1.5 二元函数的极值 168

4.1.6 条件极值 168

4.1.7 多元函数的最值 170

4.2 竞赛题与精选题解析 170

4.2.1 求二元函数的极限（例4.1—4.2） 170

4.2.2 二元函数的连续性、可偏导性与可微性（例4.3—4.9） 171

4.2.3 求多元复合函数与隐函数的偏导数（例4.10—4.22） 174

4.2.4 求高阶偏导数（例4.23—4.32） 179

4.2.5 求二元函数的极值（例4.33—4.37） 186

4.2.6 求条件极值（例4.38—4.40） 190

4.2.7 求多元函数在有界闭域上的最值（例4.41—4.42） 192

练习题四 193

专题5 多元函数积分学 196

5.1 基本概念与内容提要 196

5.1.1 二重积分基本概念 196

5.1.2 二重积分的计算 197

5.1.3 交换二次积分的次序 198

5.1.4 三重积分基本概念与计算 198

5.1.5 重积分的应用 199

5.1.6 曲线积分基本概念与计算 200

5.1.7 格林公式 202

5.1.8 曲面积分基本概念与计算 203

5.1.9 斯托克斯公式 205

5.1.10 高斯公式 206

5.2 竞赛题与精选题解析 206

5.2.1 二重积分的计算（例5.1—5.14） 206

5.2.2 交换二次积分的次序（例5.15—5.23） 214

5.2.3 三重积分的计算（例5.24—5.28） 218

5.2.4 与重积分有关的不等式的证明（例5.29—5.36） 221

5.2.5 曲线积分的计算（例5.37—5.42） 227

5.2.6 应用格林公式解题（例5.43—5.53） 231

5.2.7 曲面积分的计算（例5.54—5.56） 238

5.2.8 应用斯托克斯公式解题（例5.57—5.58） 241

5.2.9 应用高斯公式解题（例5.59—5.65） 242

5.2.10 多元函数积分学的应用题（例5.66—5.75） 248

练习题五 254

专题6 空间解析几何 257

6.1 基本概念与内容提要 257

6.1.1 向量的基本概念与向量的运算 257

6.1.2 空间的平面 258

6.1.3 空间的直线 258

6.1.4 空间的曲面 259

6.1.5 空间的曲线 260

6.2 竞赛题与精选题解析 261

6.2.1 向量的运算（例6.1—6.5） 261

6.2.2 空间平面的方程（例6.6—6.7） 262

6.2.3 空间直线的方程（例6.8—6.12） 263

6.2.4 空间曲面的方程与空间曲面的切平面（例6.13—6.24） 265

6.2.5 空间曲线的方程与空间曲线的切线（例6.25—6.30） 271

练习题六 276

专题7 级数 278

7.1 基本概念与内容提要 278

7.1.1 数项级数的主要性质 278

7.1.2 正项级数敛散性判别法 278

7.1.3 任意项级数敛散性判别法 279

7.1.4 幂级数的收敛半径、收敛域与和函数 279

7.1.5 初等函数关于x的幂级数展开式 279

7.1.6 傅氏级数 280

7.2 竞赛题与精选题解析 281

7.2.1 判别正项级数的敛散性（例7.1—7.14） 281

7.2.2 判别任意项级数的敛散性（例7.15—7.27） 291

7.2.3 求幂级数的收敛域与和函数（例7.28—7.45） 299

7.2.4 求数项级数的和（例7.46—7.52） 310

7.2.5 求初等函数关于x的幂级数展开式（例7.53—7.57） 314

7.2.6 求函数的傅氏级数展开式（例7.58—7.59） 317

练习题七 318

专题8 微分方程 320

8.1 基本概念与内容提要 320

8.1.1 微分方程的基本概念 320

8.1.2 一阶微分方程 320

8.1.3 二阶微分方程 321

8.1.4 微分方程的应用 323

8.2 竞赛题与精选题解析 323

8.2.1 微分方程的特解（例8.1—8.3） 323

8.2.2 变量可分离方程的应用题（例8.4—8.8） 324

8.2.3 齐次微分方程的应用题（例8.9） 327

8.2.4 一阶线性微分方程的应用题（例8.10—8.12） 328

8.2.5 求解二阶线性微分方程（例8.13—8.20） 330

8.2.6 求解可化为二阶线性微分方程的微分方程（例8.21—8.22） 334

练习题八 336

练习题答案与提示 337