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第一部分 高维微分学 1

第一章 向量值映照的背景 3

1.1知识要素 3

1.1.1向量值映照 3

1.1.2范数与距离 4

1.1.3 Euclid空间中的点列 4

1.2应用事例 7

1.2.1极坐标系 7

1.2.2柱坐标系 7

1.2.3球坐标系 9

1.2.4椭圆柱坐标系 9

1.2.5双极柱坐标系 12

1.3拓广深化 13

1.4建立路径 16

第二章 向量值映照的极限 17

2.1知识要素 17

2.1.1向量值映照极限的定义 17

2.1.2向量值映照极限的分析性质 20

2.1.3向量值映照极限的计算方法 23

2.1.4 Euclid空间中点集拓扑基础 26

2.2应用事例 35

2.2.1基于路径分析 35

2.2.2基于极坐标分析 38

2.2.3累次极限 39

2.3建立路径 40

第三章 向量值映照的可微性与导数的计算方法 42

3.1知识要素 42

3.1.1向量值映照的可微性定义 42

3.1.2方向导数 46

3.1.3高阶偏导数 46

3.1.4导数计算的充分性方法 47

3.1.5导数计算的极限分析方法 51

3.2应用事例 53

3.2.1导数计算的充分性方法 53

3.2.2导数计算的极限分析方法 58

3.2.3矩阵形式的链式求导 66

3.3拓广深化 67

3.3.1单参数向量值映照的变化率 67

3.3.2单参数单位正交基的变化率 71

3.3.3速度与加速度等合成原理 73

3.3.4角速度与角速度合成原理 73

3.3.5单位正交基下速度与加速度的表示 76

3.4建立路径 82

第四章 基于直线单参数化的相关分析结论 84

4.1知识要素 84

4.1.1直线单参数化 84

4.1.2多元函数可微性的一个充分性条件 85

4.1.3多元函数混合偏导数可以交换次序的一个充分性条件 87

4.2建立路径 90

第五章 无限小分析方法 92

5.1知识要素 92

5.1.1基于直线单参数化获得无限小增量公式 92

5.1.2多项式逼近的唯一性 95

5.1.3获得多元高阶多项式逼近的实际方法 99

5.1.4自由最值问题 101

5.1.5多元函数展开至二阶的几何意义 103

5.2应用事例 105

5.2.1自由最值问题 105

5.2.2获得复杂函数的多元高阶多项式逼近 106

5.3建立路径 113

第六章 有限增量公式或估计 115

6.1知识要素 115

6.1.1基于直线单参数化的多元函数的有限增量公式 115

6.1.2基于曲线单参数化的多元函数的有限增量估计 116

6.1.3基于曲线单参数化的向量值映照的有限增量估计 117

6.2建立路径 118

第七章 曲线向量值映照 119

7.1知识要素 119

7.1.1曲线的切向量与切线 119

7.1.2曲线的局部标架与其运动方程 120

7.1.3曲线的局部参数化 124

7.2应用事例 125

7.3建立路径 126

第八章 曲面向量值映照 127

8.1知识要素 127

8.1.1曲面的切平面与法向量 127

8.1.2曲面的基本形式 129

8.1.3曲面的Gauss曲率与平均曲率 130

8.1.4曲面的局部标架与其运动方程 132

8.1.5曲面的法截线与主法截线 134

8.1.6曲面的局部参数化 136

8.2应用事例 138

8.2.1二维Monge型曲面的Gauss曲率及平均曲率 138

8.2.2旋成曲面的Gauss曲率及平均曲率 141

8.3建立路径 142

第九章 隐映照定理 144

9.1知识要素 144

9.1.1 Euclid空间中闭集上的压缩映照定理 144

9.1.2由压缩映照定理获得隐映照定理 145

9.1.3隐函数导数的计算方法 150

9.2应用事例 151

9.2.1隐函数的导数计算 151

9.2.2隐映照的导数计算 158

9.3拓广深化 165

9.3.1基于压缩映照定理研究动力系统的解的存在性 165

9.3.2基于压缩映照定理研究动力系统的解对初值的连续依赖性 167

9.4建立路径 169

第十章 隐映照定理的应用（曲线与曲面的隐式表示） 170

10.1知识要素 170

10.1.1隐映照定理 170

10.1.2曲线的隐式表示 171

10.1.3曲面的隐式表示 172

10.2应用事例 173

10.2.1曲线的隐式表示 173

10.2.2曲面的隐式表示 181

10.3建立路径 192

第十一章 隐映照定理的应用（约束上的最值问题） 194

11.1知识要素 194

11.1.1隐映照定理 194

11.1.2约束上最值问题 195

11.1.3 Lagrange乘子法 200

11.2应用事例 201

11.2.1约束上最值问题 201

11.2.2利用约束最值获得不等式 208

11.3建立路径 212

第十二章 逆映照定理与微分同胚 214

12.1知识要素 214

12.1.1由隐映照定理获得逆映照定理 214

12.1.2由压缩映照定理获得逆映照定理 216

12.1.3微分同胚 219

12.2拓广深化 222

12.2.1秩 定理 222

12.2.2秩定理的应用——函数相关性与无关性 226

12.2.3 Morse定理 229

12.2.4 Morse定理的应用——平面曲线奇点的类别 233

12.2.5曲面的流形观点解释 239

12.3建立路径 247

第十三章 隐映照定理与逆映照定理的综合应用 249

13.1知识要素 249

13.1.1变换方程 249

13.1.2 Frobenius定理 251

13.1.3基于曲面的半正交系 262

13.2应用事例 265

13.2.1变换方程——仅有自变量变换 265

13.2.2变换方程——既有自变量变换又有因变量变换 269

13.2.3 Frobenius定理——直接推导Pfaff方程 272

13.3建立路径 280

第二部分 高维积分学 281

第十四章 积分应用理论 283

14.1知识要素 283

14.1.1曲线上的积分 283

14.1.2曲面上的积分 289

14.2建立路径 298

第十五章 积分分析理论（ Darboux和分析） 300

15.1知识要素 300

15.1.1闭方块上有界函数的Darboux和分析 300

15.1.2闭方块上Riemann可积的等价性叙述 304

15.1.3闭方块上Riemann可积的函数 305

15.2应用事例 309

15.3建立路径 311

第十六章 积分分析理论（Lebesgue定理） 312

16.1知识要素 312

16.1.1 Lebesgue零测集 312

16.1.2函数在某一点的振幅 314

16.1.3 Cantor定理 315

16.1.4 Lebesgue定理/判别法 316

16.1.5允许集上Riemann积分的定义 319

16.2应用事例 320

16.3建立路径 320

第十七章 计算理论（F ubini定理） 321

17.1知识要素 321

17.1.1 Fubini定理 321

17.1.2典型积分域上的积分 325

17.2应用事例 328

17.3建立路径 330

第十八章 计算理论（体积分换元公式） 331

18.1知识要素 331

18.1.1微分同胚映照下的相关结论 331

18.1.2简单微分同胚的相关结论 335

18.1.3体积分换元公式 339

18.2应用事例 345

18.2.1基本理论 345

18.2.2平面极坐标系变换 345

18.2.3柱坐标系变换 347

18.2.4球坐标系变换 350

18.2.5正交变换 365

18.2.6一般区域变换 368

18.2.7广义球坐标系变换 372

18.2.8角区与带形区域变换 373

18.3建立路径 376

第十九章 广义积分与含参变量的积分 377

19.1知识要素 377

19.1.1广义积分的定义 377

19.1.2判定广义积分敛散性的计算方法 378

19.1.3含参变量的积分 380

19.2拓广深化 382

19.2.1计算一阶变分 382

19.2.2计算二阶变分 384

19.3应用事例 385

19.3.1计算广义积分 385

19.3.2利用含参变量的积分计算相关积分 394

19.3.3计算变分 400

19.4建立路径 402

第二十章Gauss-Ostrogradskii公式 403

20.1知识要素 403

20.1.1延拓形式的Newton-Leibniz公式 403

20.1.2 Gauss-Ostrogradskii公式的原型 404

20.1.3 Gauss-Ostrogradskii公式的应用形式 406

20.2应用事例 407

20.3建立路径 410

第二十一章Green公式 412

21.1知识要素 412

21.1.1平面区域边界的定向 412

21.1.2由Gauss-Ostrogradskii公式获得Green公式 415

21.2应用事例 417

21.3建立路径 421

第二十二章Stokes公式 422

22.1知识要素 422

22.1.1简单正则曲面及其定向 422

22.1.2简单正则曲面的边界及其定向 422

22.1.3 Stokes公式 424

22.2应用事例 429

22.3建立路径 432

第二十三章 场论基础 433

23.1知识要素 433

23.1.1微分关系式 433

23.1.2积分关系式 445

23.1.3数学物理中的有关积分 448

23.1.4无旋向量场的势函数 455

23.2应用事例 456

23.2.1基于典则基下的展开推导微分恒等式 456

23.2.2基于体积局部基下的展开推导体积上微分恒等式 459

23.2.3基于曲面局部基下的展开推导曲面上微分恒等式 460

23.2.4单位正交基下微分算子的表示 462

23.2.5无旋向量场的势函数 479

23.3建立路径 480

第三部分 级数 482

第二十四章 正项数项级数 484

24.1知识要素 484

24.1.1比较的思想 484

24.1.2相关结论 485

24.1.3上下极限的定义与其基本性质 490

24.2应用事例 494

24.2.1直接展开 494

24.2.2比值展开 503

24.2.3根式形式 508

24.3建立路径 512

第二十五章 一般数项级数 514

25.1知识要素 514

25.1.1数项级数收敛的Cauchy收敛原理 514

25.1.2 Abel和式与Abel估计 514

25.1.3数项级数的Abel-Dirichlet判别法 515

25.1.4数项级数的基本分析性质 515

25.2应用事例 518

25.2.1交叉级数 518

25.2.2直接展开 519

25.2.3比值展开 525

25.2.4一般方法 532

25.3建立路径 534

第二十六章 函数项级数 536

26.1知识要素 536

26.1.1点点收敛与一致收敛的概念 536

26.1.2一致收敛的Cauchy收敛原理 537

26.1.3基于一致收敛的分析性质 537

26.1.4研究一致收敛性的若干方法 542

26.2应用事例 545

26.2.1判定函数序列的一致收敛性 545

26.2.2判定函数项级数的一致收敛性 549

26.3拓广深化 556

26.3.1基于Picared迭代研究动力系统的解的存在性 556

26.3.2基于Picared迭代研究动力系统的解对初值的可微依赖性 558

26.4建立路径 560

第二十七章 幂级数 562

27.1知识要素 562

27.1.1幂级数的收敛半径及收敛域 562

27.1.2幂级数的分析性质 563

27.1.3获得复杂函数的幂级数表示 565

27.2应用事例 566

27.2.1求幂级数收敛半径及收敛域 566

27.2.2获得幂级数的和函数 576

27.2.3获得复杂函数的幂级数展开 582

27.2.4利用幂级数求级数的和 591

27.3建立路径 594

第二十八章Fourier级数 595

28.1知识要素 595

28.1.1 Fourier级数的点收敛观点 595

28.1.2 Fourier级数的内积观点 597

28.2应用事例 599

28.3建立路径 602

名词索引 603

插图目录 609

参考文献 615