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第0章 预备知识 1

0.1 极坐标系 1

0.1.1 绘制极坐标中的点 1

0.1.2 极坐标与直角坐标之间的转换 2

0.2 复数 3

0.2.1 复数的定义 5

0.2.2 复平面 6

0.2.3 绝对值、共轭和距离 6

0.2.4 复数的极坐标形式 7

第1章 微积分基础知识 8

1.1 集合与函数 8

1.1.1 集合及运算 9

1.1.2 映射与函数 13

1.1.3 函数的基本性质 17

1.1.4 复合函数 19

1.1.5 初等函数及双曲函数 20

1.1.6 模型化真实的世界 23

习题1.1 27

1.2 数列极限 31

1.2.1 数列 31

1.2.2 数列的收敛性 33

1.2.3 数列极限的求法 41

习题1.2 45

1.3 函数的极限 47

1.3.1 速度与变化率 48

1.3.2 函数极限的概念 51

1.3.3 函数极限的性质与运算法则 54

1.3.4 两个重要极限 57

习题1.3 61

1.4 无穷小与无穷大量 63

1.4.1 无穷小量及其阶 63

1.4.2 无穷大量 67

习题1.4 68

1.5 连续函数 69

1.5.1 连续函数和间断点 69

1.5.2 连续函数的运算及初等函数的连续性 74

1.5.3 闭区间上连续函数的性质 76

习题1.5 80

第2章 导数和微分 83

2.1 导数的定义 83

2.1.1 引例 83

2.1.2 导数定义 84

2.1.3 导数的几何意义 87

2.1.4 函数连续性和可导性的关系 88

习题2.1 90

2.2 函数的求导法则 92

2.2.1 函数的和、差、积、商的求导法则 92

2.2.2 反函数的求导法则 95

2.2.3 复合函数求导法则 96

2.2.4 基本初等函数的求导法则 99

习题2.2 101

2.3 高阶导数 104

习题2.3 107

2.4 隐函数和参数函数的求导法则，相对变化率 109

2.4.1 隐函数的求导法则 109

2.4.2 由参数方程所确定的函数的求导方法 111

2.4.3 相对变化率 113

习题2.4 116

2.5 函数的微分 118

2.5.1 微分的意义 118

2.5.2 微分的几何意义 119

2.5.3 基本初等函数的求导公式 120

习题2.5 122

2.6 微分在近似计算中的应用 123

习题2.6 124

第3章 微分中值定理与导数的应用 126

3.1 中值定理 126

3.1.1 罗尔定理 126

3.1.2 拉格朗日中值定理 129

3.1.3 柯西中值定理 133

习题3.1 134

3.2 洛比达法则 136

习题3.2 142

3.3 泰勒定理 144

3.3.1 泰勒定理 144

3.3.2 泰勒定理的应用 148

习题3.3 151

3.4 函数的单调性与凹凸性 152

3.4.1 函数的单调性 152

3.4.2 函数的凹凸性 154

习题3.4 158

3.5 函数的极值与最大值和最小值 160

3.5.1 函数的极值 160

3.5.2 最大值和最小值问题 163

习题3.5 166

3.6 函数图形的描绘 168

习题3.6 171

第4章 不定积分 172

4.1 不定积分的概念和性质 172

4.1.1 原函数与不定积分 172

4.1.2 不定积分的性质 173

习题4.1 175

4.2 换元积分法 176

4.2.1 第一类换元法 177

4.2.2 第二类换元法 181

习题4.2 185

4.3 分部积分法 187

习题4.3 194

4.4 有理函数的不定积分 196

4.4.1 有理函数的预备知识 196

4.4.2 有理函数的不定积分 199

4.4.3 不能表示为初等函数的不定积分 202

习题4.4 202

第5章 定积分 203

5.1 定积分的概念和性质 203

5.1.1 实例 203

5.1.2 定积分的定义 207

5.1.3 定积分的性质 209

习题5.1 214

5.2 微积分基本定理 215

变速直线运动的位移函数与速度函数的联系 215

习题5.2 220

5.3 定积分中的换元法与分部积分法 223

5.3.1 定积分中的换元法 223

5.3.2 定积分中的分部积分法 226

习题5.3 228

5.4 反常积分 231

5.4.1 无穷区间上的积分 231

5.4.2 具有无穷间断点的反常积分 234

习题5.4 237

5.5 定积分的应用 238

5.5.1 建立积分表达式的微元法 238

5.5.2 平面图形的面积 240

5.5.3 曲线的弧长 242

5.5.4 立体的体积 245

5.5.5 定积分在物理中的应用 248

习题5.5 251

第6章 无穷级数 256

6.1 常数项级数的概念和性质 256

6.1.1 实例 256

6.1.2 常数项级数的概念 258

6.1.3 常数项级数的性质 262

习题6.1 264

6.2 常数项级数的审敛准则 266

6.2.1 正项级数的敛散准则 266

6.2.2 交错级数及其收敛性的莱布尼茨判别法 274

6.2.3 任意项级数的绝对收敛与条件收敛 275

习题6.2 278

6.3 幂级数 281

6.3.1 函数项级数 282

6.3.2 幂级数及其收敛性 282

6.3.3 幂级数的性质和级数求和 287

习题6.3 290

6.4 函数的幂级数展开 292

6.4.1 泰勒与麦克劳林级数 292

6.4.2 函数的幂级数展开 295

6.4.3 泰勒级数的应用 300

习题6.4 303

6.5 傅里叶级数 304

6.5.1 正交三角函数系 304

6.5.2 傅里叶级数 305

6.5.3 傅里叶级数的收敛性 307

6.5.4 将定义在［0，π］上的函数展成正弦级数或余弦级数 311

习题6.5 314

6.6 其他形式的傅里叶级数 315

6.6.1 周期为2l的周期函数的傅里叶展开式 315

6.6.2 傅里叶级数的复数形式 319

习题6.6 320

参考文献 322