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第八章 线积分面积分场论 1

8.1线积分 1

8.1.1空间曲线的弧长 1

8.1.2第一型线积分 3

8.1.3第二型线积分 6

习题8.1 11

8.2面积分 12

8.2.1第一型面积分 12

8.2.2双侧曲面 16

8.2.3第二型面积分 18

习题8.2 22

8.3线积分、面积分、体积分间的关系 24

8.3.1格林定理 24

8.3.2斯托克斯定理 28

8.3.3高斯定理 31

习题8.3 34

8.4场论 36

8.4.1向量场与数量场 36

8.4.2哈密顿算子▽ 37

8.4.3直角坐标系下的梯度、散度与旋度 39

1）梯度 39

2）散度 40

3）旋度42 44

8.4.4无源场与无旋场 44

8.4.5.场论在物理上的应用 46

1）流体力学的连续性方程 46

2）热传导方程 47

习题8.4（1） 48

8.4.6.正交曲线坐标系下的梯度、散度与旋度 49

1）正交曲线坐标系 49

2）弧长微元曲面微元体积微元 50

3）正交曲线坐标系下的三度表达式 52

习题8.4（2） 56

第九章 级数 广义积分学 57

9.1级数函数项级数 57

9.1.1正项级数敛散性判别法 57

9.1.2任意项级数敛散性判别法 60

9.1.3绝对收敛级数的性质 63

习题9.1（1） 64

9.1.4函数项级数与一致收敛性 66

9.1.5一致收敛级数的性质 69

习题9.1（2） 70

9.2幂级数 71

9.2.1幂级数的收敛区间与收敛域 71

9.2.2幂级数的一致收敛性 73

9.2.3幂级数的和函数 75

9.2.4初等函数的幂级数展式 77

9.2.5欧拉公式 80

习题9.2 81

9.3傅里叶级数 82

9.3.1三角函数系的正交性 82

9.3.2傅里叶级数 83

9.3.3狄利克雷收敛定理 83

9.3.4区间[——l，l]上的傅里叶级数 85

9.3.5.傅里叶级数的复数形式 86

9.3.6均方差与贝塞尔不等式 87

习题9.3 88

9.4广义积分学 89

9.4.1广义积分敛散性判别法 89

习题9.4（1） 95

9.4.2含参定积分的性质与含参广义积分的一致收敛性 96

9.4.3一致收敛含参广义积分的性质 99

习题9.4（2） 102

9.5欧拉积分 103

9.5.1 T函数 103

9.5.2 B函数 104

9.5.3斯特林公式 107

习题9.5 107

第十章 线性代数 109

10.1矩阵 109

10.1.1可逆矩阵 109

10.1.2分块矩阵 115

习题10.1（1） 119

10.1.3初等变换初等矩阵 121

10.1.4矩阵的秩 129

习题10.1（2） 130

10.2线性空间 132

10.2.1线性空间的定义例子 132

10.2.2子空间 134

习题10.2（1） 135

10.2.3线性无关性 136

10.2.4基维数坐标 142

习题10.2（2） 149

10.2.5矩阵的秩（续） 151

习题10.2（3） 153

10.3线性方程组 154

10.3.1高斯消元法 154

10.3.2线性方程组解的结构 161

习题10.3 166

10.4线性变换 169

10.4.1线性变换的定义 169

10.4.2线性变换的运算 172

习题10.4（1） 174

10.4.3线性变换的矩阵表示 175

习题10.4（2） 180

10.4.4特征值特征向量 182

10.4.5可以对角化的矩阵 186

习题10.4（3） 191

10.5欧几里得空间 192

10.5.1向量的内积 192

10.5.2施密特标准正交化方法 196

习题10.5（1） 199

10.5.3正交变换对称变换 201

10.5.4实对称矩阵的对角化 203

习题10.5（2） 207

10.5.5酉空间 207

习题10.5（3） 211

10.6二次型 212

10.6.1二次型的矩阵 212

10.6.2二次型的标准形 213

10.6.3复二次型和实二次型的规范形 219

习题10.6（1） 222

10.6.4正定二次型 223

10.6.5二次曲面方程的化简 228

习题10.6（2） 231

第十一章 微分方程 233

11.1一阶微分方程 233

11.1.1全微分方程 233

习题11.1（1） 236

11.1.2一阶隐式方程 237

习题11.1（2） 242

11.1.3微分方程的应用（一） 242

1）几何上的应用 242

2）物理上的应用 244

习题11.1（3） 246

11.1.4解的存在与唯一性 247

1）皮卡存在唯一性定理 247

2）其它形式的存在与唯一性定理 251

3）解的延拓 252

习题11.1（4） 253

11.2高阶微分方程 254

11.2.1解的存在与唯一性 254

11.2.2高阶线性方程通解的结构 254

1）函数的线性无关性朗斯基行列式 255

2）线性齐次方程通解的结构 259

3）线性非齐次方程通解的结构常数变易法 261

习题11.2（1） 265

11.2.3常系数线性齐次方程 267

11.2.4常系数线性非齐次方程 271

1）算子方法 271

2）待定系数法 277

11.2.5欧拉方程 277

习题11.2（2） 279

11.2.6微分方程的应用（二） 280

1）自由振动 280

2）强迫振动 283

习题11.2（3） 284

11.3微分方程的近似解 284

11.3.1微分方程的幂级数解 284

1）一阶方程的幂级数解 285

2）二阶线性方程的幂级数解 286

11.3.2.微分方程的数值计算方法 287

1）欧拉方法 287

2）霍恩方法 288

3）龙格-库塔方法 289

习题11.3 290

11.4微分方程组 291

11.4.1常系数线性方程组 291

1）化为高阶方程 291

2）用矩阵对角化解微分方程组 293

3）算子方法 297

习题11.4（1） 299

11.4.2首次积分法 300

习题11.4（2） 305

11.5差分方程一阶偏微分方程 305

11.5.1差分方程 305

习题11.5（1） 309

11.5.2一阶偏微分方程 309

习题11.5（2） 313

11.6动力系统介绍 314

11.6.1动力系统 314

11.6.2解的稳定性 315

11.6.3初等奇点与相图 316

习题11.6 320

习题答案与提示 321

附录Ⅲ外微分 335

附录Ⅳ 多项式 339