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第1章 变分法的几个经典例子 1

1.1 等周问题与捷线问题等 1

1.2 定义与记号 5

习题 6

第2章 Banach空间与Hilbert空间简介 7

2.1 Banach空间及其一些基本概念 7

2.2 Hahn-Banach延拓定理与凸集分离定理 9

2.3 Hilbert空间、Riesz表示定理及Lax-Milgram定理 15

习题 19

第3章 广义函数与Sobolev空间 22

3.1 广义函数 22

3.2 几个常用的经典不等式 28

3.3 Sobolev嵌入定理 31

习题 50

第4章 泛函极值的一阶和二阶条件 52

4.1 Fréchet微分与Gateaux微分 52

4.2 Euler-Lagrange方程 60

4.3 经典Weierstrass定理的无限维推广及Dirichlet原理 71

4.4 二阶变分的Legendre必要条件和Jacobi必要条件 80

4.5 弱极小的二阶变分的充分条件 90

习题 92

第5章 Ekeland变分原理及其应用 94

5.1 经典的Ekeland变分原理 94

5.2 Ekeland变分原理的推广 97

5.3 Ekeland变分原理的应用 101

习题 105

第6章 Pontryagin最大值原理及其应用 106

6.1 引言 106

6.2 Pontryagin最大值原理 107

6.3 Pontryagin最大值原理应用于经典变分问题 110

6.4 Ekeland变分原理应用于Pontryagin最大值原理 112

习题 113

第7章 共轭凸函数理论及其应用 114

7.1 共轭凸函数理论简介 114

7.2 Hamilton共轭与Clarke共轭 123

习题 126

第8章 极小极大原理 128

8.1 伪梯度向量场与形变引理 130

8.2 一般的极小极大定理 138

8.3 山路引理 141

8.4 山路引理在椭圆边值问题中的应用 144

习题 152

第9章 多体问题的周期解 153

9.1 Kepler轨道及其变分最小性质 153

9.2 三体问题的Euler解和Lagrange解及其变分最小性 158

9.3 平面等质量三体问题的“8”字形解 169

9.4 平面三体问题新的周期解 174

9.5 三维空间中的N体问题的非平面非碰撞周期解 179

9.6 Saari猜想简介 185

习题 187

第10章 几个著名的不动点定理及其应用 188

10.1 Banach压缩映像原理及其应用 188

10.2 Brouwer不动点定理、Fan Ky不等式与Nash均衡 193

10.3 Schauder不动点定理及其应用 205

10.4 Leray-Schauder不动点定理 209

10.5 Poincaré-Birkhoff不动点定理简介 211

习题 212

参考文献 213

致射 219