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第1章 复分析预备知识 1

1 复数和复平面 1

1.1 基本性质 1

1.2 收敛性 3

1.3 复平面中的集合 4

2 定义在复平面上的函数 5

2.1 连续函数 5

2.2 全纯函数 6

2.3 幂级数 10

3 沿曲线的积分 13

4 练习 17

第2章 柯西定理及其应用 23

1 Goursat定理 24

2 局部原函数的存在和圆盘内的柯西定理 26

3 一些积分估值 29

4 柯西积分公式 32

5 应用 37

5.1 Morera定理 37

5.2 全纯函数列 37

5.3 按照积分定义全纯函数 39

5.4 Schwarz反射原理 40

5.5 Runge近似定理 42

6 练习 44

7 问题 47

第3章 亚纯函数和对数 50

1 零点和极点 51

2 留数公式 54

2.1 例子 55

3 奇异性与亚纯函数 58

4 辐角原理与应用 62

5 同伦和单连通区域 65

6 复对数 68

7 傅里叶级数和调和函数 70

8 练习 72

9 问题 75

第4章 傅里叶变换 78

1 F类 79

2 作用在F类上的傅里叶变换 80

3 Paley-Wiener定理 85

4 练习 90

5 问题 94

第5章 整函数 96

1 Jensen公式 97

2 有限阶函数 99

3 无穷乘积 101

3.1 一般性 101

3.2 例子 正弦函数的乘积公式 102

4 Weierstrass无穷乘积 104

5 Hadamard因子分解定理 106

6 练习 110

7 问题 113

第6章 Gamma函数和Zeta函数 115

1 Gamma函数 115

1.1 解析延拓 116

1.2 Γ函数的性质 118

2 Zeta函数 122

2.1 泛函方程和解析延拓 122

3 练习 127

4 问题 131

第7章 Zeta函数和素数定理 133

1 Zeta函数的零点 134

1.1 1/ζ（s）的估计 137

2 函数ψ和ψ1的简化 138

2.1 ψ1的渐近证明 142

3 练习 146

4 问题 149

第8章 共形映射 151

1 共形等价和举例 152

1.1 圆盘和上半平面 153

1.2 进一步举例 154

1.3 带形区域中的Dirichlet问题 156

2 Schwarz引理 圆盘和上半平面的自同构 160

2.1 圆盘内的自同构 161

2.2 上半平面的自同构 163

3 黎曼映射定理 164

3.1 必要条件和定理的陈述 164

3.2 Montel定理 165

3.3 黎曼映射定理的证明 167

4 共形映射到多边形上 169

4.1 一些例子 169

4.2 Schwarz-Christoffel积分 172

4.3 边界表现 174

4.4 映射公式 177

4.5 返回椭圆积分 180

5 练习 181

6 问题 187

第9章 椭圆函数介绍 192

1 椭圆函数 193

1.1 Liouville定理 194

1.2 Weierstrass？函数 196

2 椭圆函数的模特征和Eisenstein级数 200

2.1 Eisenstein级数 201

2.2 Eisenstein级数和除数函数 203

3 练习 205

4 问题 207

第10章 Theta函数的应用 209

1 Jacobi Theta函数的乘积公式 209

1.1 进一步的变换法则 214

2 母函数 216

3 平方和定理 218

3.1 二平方定理 219

3.2 四平方定理 224

4 练习 228

5 问题 232

附录A 渐近 236

1 Bessel函数 237

2 Laplace方法 Stirling公式 239

3 Airy函数 243

4 分割函数 247

5 问题 253

附录B 单连通和Jordan曲线定理 256

1 单连通的等价公式 257

2 Jordan曲线定理 261

2.1 柯西定理的一般形式的证明 268

注记和参考 270

参考文献 273