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第一篇 微积分 3

第一章 函数 极限 连续 3

考点与要求 3

1函数 3

内容精讲 3

一、函数的概念及表示方法 3

二、函数的性态 3

三、几个与函数相关的概念 4

四、重要公式与结论 5

例题分析 6

一、求函数的定义域及表达式 6

二、函数的特性 8

2极限 10

内容精讲 10

一、极限的定义 10

二、数列极限的基本性质 11

三、函数极限的基本性质 11

四、无穷小量与无穷大量 11

五、极限的四则运算法则 12

六、两个重要极限 13

七、极限存在的两个准则 13

八、洛必达（LHospital）法则 13

九、重要公式与结论 14

例题分析 15

一、极限的概念与性质 15

二、求函数的极限 16

三、求数列的极限 23

四、求含参变量的极限 24

五、无穷小量阶的比较 25

六、函数极限的反问题 26

3函数的连续与间断 28

内容精讲 28

一、连续的定义 28

二、函数的间断点及其分类 28

三、连续函数性质 28

四、重要定理与结论 29

例题分析 29

一、函数的连续性及间断点的分类 29

二、连续函数性质的应用 31

第二章 一元函数微分学 32

考点与要求 32

1导数与微分 32

内容精讲 32

一、导数的概念 32

二、导数的计算 33

三、微分 35

四、重要公式与结论 35

例题分析 36

一、有关导数的定义及性质 36

二、含有绝对值函数的导数 40

三、导数的几何意义 40

四、变限积分的导数 42

五、利用导数公式及法则求导 43

六、可导条件下求待定的参数 45

七、求函数的高阶导数 46

2导数的应用 47

内容精讲 47

一、函数的单调性与极值 47

二、曲线的凹凸性与拐点 48

三、曲线的渐近线 48

四、函数图形的描绘 49

五、重要公式与结论 49

例题分析 49

一、求函数的单调区间与极值 49

二、判断曲线的凹凸性与拐点 51

三、求曲线的渐近线 52

四、导数的经济应用 54

3中值定理及不等式的证明 55

内容精讲 55

一、微分中值定理 55

二、补充公式与结论 57

三、与本章例题有关的其它内容 57

例题分析 57

一、证明存在ξ使f（ξ）=0 57

二、讨论方程根的个数及范围 58

三、证明存在ξ，使f（n）（ξ）=0（n=1，2，…） 60

四、证明存在ξ，使G（ξ，f（ξ），f′（ξ））=0 61

五、含有f″（ξ）（或更高阶导数）的介值问题 63

六、双介值问题F（ξ，η，…）=0 64

七、不等式的证明 65

第三章 一元函数积分学 71

考点与要求 71

1不定积分 71

内容精讲 71

一、不定积分的概念与性质 71

二、基本积分公式 72

三、三个积分方法 72

四、重要公式与结论 73

例题分析 75

一、不定积分的概念和性质 75

二、不定积分的计算 76

2定积分 85

内容精讲 85

一、定积分的概念与性质 85

二、定积分的几个定理 86

三、定积分的计算方法 87

四、重要公式与结论 87

例题分析 88

一、定积分的概念及性质 88

二、定积分的计算 91

三、有关变限积分的问题 96

四、定积分的证明题 97

3反常积分 99

内容精讲 99

一、无穷区间的反常积分 99

二、无界函数的反常积分 100

三、几个重要的反常积分 101

例题分析 101

4定积分的应用 104

内容精讲 104

一、定积分应用的基本原理—微元法（元素法） 104

二、定积分的几何应用 104

三、定积分的经济应用 105

例题分析 105

一、定积分的几何应用 105

二、定积分的经济应用 107

第四章 多元函数微积分学 108

考点与要求 108

1多元函数微分学 108

内容精讲 108

一、多元函数的极限与连续 108

二、偏导数与全微分 109

三、复合函数求导法则 110

四、隐函数的求导公式 111

五、多元函数的极值 111

六、重要公式与结论 112

例题分析 113

一、二元函数的极限与连续 113

二、偏导数与全微分的概念 114

三、求复合函数的偏导数与全微分 117

四、求隐函数的偏导数与全微分 122

五、变量代换下表达式的变形 125

六、多元函数微分学的反问题 127

七、多元函数的极值与最值 128

2二重积分 135

内容精讲 135

一、二重积分的概念与性质 135

二、二重积分的计算 136

三、重要公式与结论 136

例题分析 137

一、二重积分的概念及性质 137

二、二重积分的基本计算 138

三、利用区域的对称性和函数的奇偶性计算积分 141

四、分块函数的二重积分 144

五、交换积分次序及坐标系 145

六、反常二重积分的计算 148

七、与二重积分相关的证明 149

第五章 无穷级数 150

考点与要求 150

1常数项级数 150

内容精讲 150

一、基本概念和基本性质 150

二、正项（不变号）级数敛散性的判别法 151

三、任意项（变号）级数敛散性的判别法 151

四、重要公式与结论 152

例题分析 153

一、正项级数敛散性的判定 153

二、交错级数的敛散性的判定 156

三、任意项级数敛散性的判定 158

四、数项级数敛散性的证明 161

五、利用收敛级数求极限 163

2幂级数 164

内容精讲 164

例题分析 166

一、求幂级数的收敛半径及收敛域 166

二、求幂级数的和函数 169

三、求数项级数的和 172

四、函数展开为幂级数 174

五、经济中的应用 175

第六章 常微分方程与差分方程 177

考点与要求 177

1常微分方程 177

内容精讲 177

一、几个基本概念 177

二、常见的一阶微分方程及其解法 178

三、二阶线性微分方程 178

例题分析 180

一、一阶微分方程的求解 180

二、二阶线性微分方程 183

三、可化为微分方程求解的问题 186

四、微分方程的应用 189

2差分方程 191

内容精讲 191

一、差分的概念 191

二、一阶常系数线性差分方程 191

例题分析 191

第二篇 线性代数 195

第一章 行列式 195

考点与要求 195

内容精讲 195

例题分析 198

一、数字型行列式的计算 198

二、抽象型行列式的计算 205

三、行列式|A|是否为零的判定 207

四、关于代数余子式求和 208

第二章 矩阵 210

考点与要求 210

内容精讲 210

1矩阵的概念及运算 210

一、矩阵的概念 210

二、矩阵的运算 211

三、矩阵的运算规则 211

四、特殊矩阵 212

2可逆矩阵 213

一、可逆矩阵的概念 213

二、n阶矩阵A可逆的充分必要条件 213

三、逆矩阵的运算性质 213

四、求逆矩阵的方法 213

3初等变换、初等矩阵 214

一、定义 214

二、初等矩阵与初等变换的性质 214

4矩阵的秩 215

一、矩阵秩的概念 215

二、矩阵秩的公式 215

5分块矩阵 215

一、分块矩阵的概念 215

二、分块矩阵的运算 216

例题分析 217

一、矩阵的概念及运算 217

二、特殊方阵的幂 220

三、伴随矩阵的相关问题 223

四、可逆矩阵的相关问题 225

五、初等变换、初等矩阵 228

六、矩阵秩的计算 230

第三章 向量 234

考点与要求 234

内容精讲 234

1 n维向量的概念与运算 234

2线性表出、线性相关 234

一、线性表出的概念 235

二、线性相关、线性无关的概念 235

三、线性表出、线性相关的重要定理 235

3极大线性无关组、秩 236

一、极大线性无关组、向量组秩的概念 236

二、有关秩的定理 236

4 Schmidt正交化、正交矩阵 236

一、Schmidt正交化（正交规范化方法） 236

二、正交矩阵 237

例题分析 237

一、线性相关的判别 237

二、向量的线性表示 238

三、线性相关与线性无关的证明 240

四、秩与极大线性无关组 243

五、正交化、正交矩阵 245

第四章 线性方程组 247

考点与要求 247

内容精讲 247

1克拉默法则 247

2齐次线性方程组 248

3非齐次线性方程组 249

例题分析 251

一、线性方程组的基本概念题 251

二、线性方程组的求解 254

三、基础解系 260

四、Ax=0的系数矩阵的行向量和解向量的关系，由Ax=0的基础解系反求A 261

五、线性方程组中系数矩阵的列向量和解向量的关系 263

六、两个方程组的公共解 265

七、同解方程组 266

八、线性方程组的有关杂题 268

第五章 特征值、特征向量、相似矩阵 271

考点与要求 271

内容精讲 271

1特征值、特征向量 271

一、定义 271

二、特征值的性质 271

三、求特征值、特征向量的方法 271

2相似矩阵、矩阵的相似对角化 272

一、定义 272

二、矩阵可相似对角化的充分必要条件 272

三、相似矩阵的性质及相似矩阵的必要条件 273

3实对称矩阵的相似对角化 273

一、定义 273

二、实对称阵的特征值，特征向量及相似对角化 273

三、实对称矩阵正交相似于对角阵的步骤 273

例题分析 274

一、特征值，特征向量的求法 274

二、两个矩阵有相同的特征值的证明 278

三、关于特征向量及其他给出特征值特征向量的方法 279

四、矩阵是否相似于对角阵 280

五、利用特征值、特征向量及相似矩阵确定参数 283

六、由特征值、特征向量反求A 283

七、矩阵相似及相似标准形 284

八、相似对角阵的应用 289

第六章 二次型 294

考点与要求 294

内容精讲 294

1二次型的定义、矩阵表示，合同矩阵 294

一、二次型概念 294

二、二次型的矩阵表示 294

2化二次型为标准形、规范形 合同二次型 295

一、定义 295

3正定二次型、正定矩阵 297

一、定义 297

例题分析 297

一、二次型的矩阵表示 297

二、化二次型为标准形、规范形 298

三、合同矩阵、合同二次型 304

四、正定性的判别 307

五、正定二次型的证明 311

六、综合杂题 313

第三篇 概率论与数理统计 319

第一章 随机事件与概率 319

考点与要求 319

1事件、样本空间、事件间的关系与运算 319

内容精讲 319

例题分析 321

2概率、条件概率、独立性和五大公式 323

内容精讲 323

例题分析 324

3古典概型与伯努利概型 329

内容精讲 329

例题分析 330

第二章 随机变量及其概率分布 333

考点与要求 333

1随机变量及其分布函数 333

内容精讲 333

例题分析 334

2离散型随机变量和连续型随机变量 335

内容精讲 335

例题分析 336

3常用分布 337

内容精讲 337

例题分析 340

4随机变量函数的分布 343

内容精讲 343

例题分析 344

第三章 多维随机变量及其分布 346

考点与要求 346

1二维随机变量及其分布 346

内容精讲 346

例题分析 348

2随机变量的独立性 353

内容精讲 353

例题分析 354

3二维均匀分布和二维正态分布 362

内容精讲 362

例题分析 363

4两个随机变量函数Z=g（X，Y）的分布 365

内容精讲 365

例题分析 366

第四章 随机变量的数字特征 373

考点与要求 373

1随机变量的数学期望和方差 373

内容精讲 373

例题分析 375

2矩、协方差和相关系数 382

内容精讲 382

例题分析 383

3切比雪夫不等式 391

内容精讲 391

例题分析 391

第五章 大数定律和中心极限定理 393

考点与要求 393

内容精讲 393

例题分析 394

第六章 数理统计的基本概念 396

考点与要求 396

1总体、样本、统计量和样本数字特征 396

内容精讲 396

例题分析 397

2常用统计抽样分布和正态总体的抽样分布 399

内容精讲 399

例题分析 401

第七章 参数估计 406

考点与要求 406

1点估计 406

内容精讲 406

例题分析 406

2估计量求法 411

内容精讲 411

例题分析 412