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第一章 函数与极限 1

第一节 函数 1

一、集合 1

二、一元函数的定义 5

三、函数的几种特性 7

四、反函数 9

习题1-1 9

第二节 初等函数 10

一、基本初等函数 10

二、复合函数 13

三、初等函数 13

四、双曲函数 14

五、经济领域中常见的函数 15

习题1-2 16

第三节 数列的极限 17

一、数列 17

二、数列极限的定义 19

三、数列收敛的充分条件与性质 19

习题1-3 22

第四节 函数的极限 22

一、自变量趋向无穷大时函数的极限 22

二、自变量趋向有限值时函数的极限 23

三、函数极限的性质 25

习题1-4 26

第五节 无穷小与无穷大 26

一、无穷小 26

二、无穷大 27

习题1-5 28

第六节 极限运算法则 28

习题1-6 32

第七节 两个重要极限 33

一、重要极限？ 33

二、重要极限？ 34

习题1-7 36

第八节 无穷小的比较 36

习题1-8 37

第九节 极限的精确定义 38

一、数列极限的精确定义 38

二、函数极限的精确定义 40

三、无穷小与无穷大的精确定义 42

四、本章有关极限的部分基本定理的证明 43

习题1-9 47

第十节 函数的连续性 47

一、函数连续的定义 47

二、函数的间断点 49

习题10 50

第十一节 连续函数的运算与初等函数的连续性 51

一、连续函数的和、积及商的连续性 51

二、反函数与复合函数的连续性 52

三、初等函数的连续性 53

习题1-11 53

第十二节 闭区间上连续函数的性质 54

一、最大值和最小值定理 54

二、介值定理 54

习题12 55

第十三节 综合例题 55

复习题一 59

第二章 导数与微分 63

第一节 导数的概念 63

一、引例 63

二、导数的定义及导数的几何意义 64

三、函数的可导性与连续性的关系 68

习题2-1 70

第二节 导数公式与函数的和、差、积、商的导数 71

一、常数和基本初等函数的导数公式 71

二、函数的和、差、积、商的导数 72

习题2-2 75

第三节 反函数和复合函数的导数 76

一、反函数的求导法则 76

二、复合函数的求导法则 77

习题2-3 79

第四节 隐函数和参数方程确定的函数的导数、相关变化率 80

一、隐函数的导数 81

二、参数方程确定的函数的导数 82

三、相关变化率 83

习题2-4 85

第五节 高阶导数 86

一、函数的高阶导数 86

二、隐函数的二阶导数 89

三、参数方程确定的函数的二阶导数 89

习题2-5 90

第六节 微分及其应用 91

一、微分的概念 91

二、微分的几何意义 94

三、微分的运算法则 94

四、微分的应用 95

习题2-6 96

第七节 微元 97

第八节 综合例题 99

复习题二 101

第三章 中值定理与导数的应用 105

第一节 中值定理 105

一、费马引理 105

二、罗尔定理 106

三、拉格朗日中值定理 107

习题3-1 108

第二节 洛必达法则 109

一、柯西定理 109

二、洛必达法则 110

习题3-2 113

第三节 泰勒定理 114

习题3-3 118

第四节 函数单调性判别法 118

习题3-4 120

第五节 函数的极值与最值 120

一、函数的极值及其求法 120

二、函数的最值及其求法 122

习题3-5 125

第六节 曲线的凹凸性与拐点 126

习题3-6 128

第七节 函数作图 128

一、曲线的渐近线 128

二、函数作图方法 130

习题3-7 132

第八节 曲线的曲率 133

一、曲率概念 133

二、曲率圆与曲率半径 134

习题3-8 135

第九节 变化率及相对变化率在经济中的应用 136

一、函数的变化率——边际函数 136

二、函数的相对变化率——函数的弹性 137

习题3-9 139

第十节 方程的近似解 140

一、二分法 140

二、牛顿法 141

第十一节 综合例题 142

复习题三 146

第四章 不定积分 149

第一节 不定积分的概念和性质 149

一、原函数与不定积分的概念 149

二、不定积分的性质 151

三、不定积分基本公式 152

习题4-1 153

第二节 换元积分法 154

一、第一类换元法 154

二、第二类换元法 157

习题4-2 161

第三节 分部积分法 162

习题4-3 164

第四节 几种特殊类型函数的积分 165

一、有理函数的积分 165

二、三角函数有理式的积分 167

三、简单无理函数的积分举例 168

习题4-4 169

第五节 综合例题 169

复习题四 172

第五章 定积分 175

第一节 定积分的概念 175

一、引例 175

二、定积分的定义 177

习题5-1 179

第二节 定积分的性质 180

习题5-2 182

第三节 微积分基本公式 183

习题5-3 187

第四节 定积分的换元法与分部积分法 188

一、定积分的换元法 188

二、定积分的分部积分法 191

习题5-4 193

第五节 广义积分初步 194

一、积分区间为无穷的广义积分 194

二、无界函数的广义积分 196

习题5-5 197

第六节 定积分的近似计算 197

一、梯形方法 197

二、抛物线方法 198

第七节 综合例题 199

复习题五 203

第六章 定积分的应用 208

第一节 平面图形的面积 208

一、直角坐标情形 208

二、极坐标情形 211

习题6-1 212

第二节 体积 212

一、旋转体的体积 212

二、平行截面面积为已知的立体的体积 214

习题6-2 215

第三节 平面曲线的弧长 215

一、直角坐标情形 215

二、参数方程情形 216

三、极坐标方程情形 217

习题6-3 218

第四节 定积分的其他应用 218

一、物理中的应用 218

二、工程中的应用 219

三、经济管理中的应用 222

习题6-4 223

第五节 综合例题 224

复习题六 227

第七章 常微分方程 229

第一节 微分方程的基本概念 229

习题7-1 231

第二节 可分离变量的微分方程 232

一、可分离变量的微分方程 232

二、齐次方程 234

习题7-2 236

第三节 一阶线性微分方程 237

习题7-3 241

第四节 可降阶的高阶微分方程 241

一、y（n）=f（x）型的微分方程 241

二、y″=f（x，y′）型的微分方程 242

三、y″=f（y，y′）型的微分方程 243

习题7-4 244

第五节 高阶线性微分方程及其解的结构 245

习题7-5 247

第六节 二阶常系数齐次线性微分方程 247

习题7-6 250

第七节 二阶常系数非齐次线性微分方程 251

一、f（x）=Pm（x）eλx型 251

二、f（x）=eλx[Pl（x）cosωx+Pn（x）sin ωx]型 253

三、欧拉方程 254

习题7-7 256

第八节 常系数线性微分方程组 256

习题7-8 258

第九节 差分方程 258

一、差分的概念与性质 258

二、差分方程的概念 259

三、一阶常系数线性差分方程 260

习题7-9 263

第十节 综合例题 263

复习题七 269

参考文献 272

附录A 中学数学基础知识补充 273

附录B Mathematica软件使用简介 282