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预备知识 3

1.集合 3

2.映射 7

3.集合的势 8

4.度量 9

5.数学归纳法 13

有限维向量空间 17

1 向量与变换 17

1.1 向量空间 17

1.2 内积 19

1.3 线性变换 21

1.4 代数 23

2 算子代数 27

2.1 L（V）代数 27

2.2 算子函数的导数 29

2.3 算子的共轭 32

2.4 Hermite算子和幺正算子 32

2.5 投影算子 33

2.6 数值分析中的算子 34

3 算子的矩阵表示 38

3.1 矩阵 38

3.2 矩阵的运算 39

3.3 标准正交基 40

3.4 基的变化和相似变换 41

3.5 行列式 42

3.6 迹 44

4.谱分解 46

4.1 直和 46

4.2 不变子空间 47

4.3 特征值和特征向量 49

4.4 谱分解 50

4.5 算子函数 54

4.6 积分解 55

4.7 实向量空间 56

无限维向量空间 63

5 Hilbert空间 63

5.1 收敛的问题 63

5.2 平方可积函数空间 66

6 广义函数 70

6.1 连续指标 70

6.2 广义函数 72

7 古典正交多项式 74

7.1 古典正交多项式的性质 74

7.2 古典正交多项式的分类 77

7.3 递推关系 79

7.4 古典正交多项式举例 81

7.5 函数按多项式展开 89

7.6 生成函数 92

8 Fourier分析 97

8.1 Fourier级数 97

8.2 Fourier变换 103

复 分 析 113

9 复分析 113

9.1 复变函数 113

9.2 解析函数 115

9.3 保角映射 118

9.4 复积分 122

9.5 复级数 128

9.6 留数 141

9.7 亚纯函数、多值函数 149

9.8 解析延拓 152

微分方程 163

10 分离变量法 163

10.1 球坐标系下的分离变量 163

10.2 L2的本征值和本征矢 166

11 常微分方程 175

11.1 一阶常微分方程 175

11.2 一阶常微分方程组 182

11.3 二阶线性常微分方程 192

11.4 复二阶线性常微分方程 204

11.5 积分变换 226

11.6 常微分方程的数值解 232

11.7 指标差为整数的超几何方程的另一解 237

12 Hilbert空间上的算子 240

12.1 Hilbert空间上的有界算子 241

12.2 Hilbert空间上有界算子的谱 244

12.3 紧算子 246

12.4 紧算子的谱 248

12.5 谱理论 251

12.6 积分方程 258

后记 270