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第0章 引言 1

第1章 傅里叶三角级数 45

1 周期函数 45

2 谐量 47

3 三角多项式和三角级数 51

4 术语的明确说明、可积性、函数项级数 54

5 基本三角函数系、正弦余弦的正交性、函数系 59

6 周期是2π的函数的傅里叶级数 61

7 在长度为2π的区间上给出的函数的傅里叶级数 65

8 函数在一点处的左右极限、第一种间断点 67

9 滑溜函数和逐段滑溜函数 69

10 傅里叶级数收敛准则 71

11 奇函数和偶函数 73

12 余弦级数和正弦级数 75

13 展成傅里叶级数的例子 78

14 傅里叶级数的复数形式 87

15 周期是2ι的函数 90

第1章思考题 95

第2章 正交系 100

1 定义、标准系 100

2 按已知正交族展开的傅里叶级数 102

3 最简单正交系的例子 103

4 平方可积函数、布尼雅柯夫斯基不等式 112

5 平方偏差、它的最小值 114

6 贝塞尔不等式和它的推论 117

7 完备系、在均值意义下的收敛性 118

8 完备系最重要的性质 121

9 完备系的判别准则 123

10 与矢量类比 126

第3章 傅里叶三角级数的收敛性 130

1 贝塞尔不等式和它的推论 130

2 三角积分∫b a f（x）cos nxdx和∫b a f（x）sin nxdx，当n→∞时的极限 131

3 余弦和式的公式、辅助积分 137

4 傅里叶级数部分和的积分公式 139

5 左右导数 140

6 在函数连续点处傅里叶级数收敛的充分条件 143

7 在函数间断点处傅里叶级数收敛的充分条件 145

8 在6，7建立的充分条件的推广 147

9 逐段滑溜（连续或不连续）函数的傅里叶级数的收敛 148

10 周期是2π的连续逐段滑溜函数的傅里叶级数的绝对收敛性和均匀收敛性 149

11 周期是2π而具有绝对可积导数的连续函数的傅里叶级数的均匀收敛性 153

12 11结果的推广 157

13 局部性原理 161

14 无界函数展成傅里叶级数的例子 164

15 关于周期是21的函数的附注 169

第4章 系数递减的三角级数、某些级数求和法 170

1 阿贝尔预备定理 170

2 正弦和式的公式、辅助不等式 172

3 系数单调递减的三角级数的收敛性 174

4 3定理的一些推论 177

5 复变函数对于一些三角级数求和法的应用 181

6 5结果的严格讨论 185

第4章思考题 190

第5章 三角函数系的完备性、傅里叶级数的运算 195

1 用三角多项式近似表示函数 195

2 三角函数系的完备性 198

3 李雅普诺夫公式、三角函数系完备性的重要推论 200

4 用多项式逼近函数 202

5 傅里叶级数的加减法、它与数字的乘法 204

6 傅里叶级数乘法 205

7 傅里叶级数的积分法 208

8 傅里叶级数的微分法、周期是2π的连续函数的情形 213

9 傅里叶级数的微分法、函数在区间[—π，π]上给出时的情形 216

10 傅里叶级数的微分法、函数在区间[0，π]上给出时的情形 223

11 傅里叶级数收敛性的改善 231

12 三角函数展式表 237

13 傅里叶级数的近似计算 241

第5章思考题 244

第6章 傅里叶三角级数定和法 250

1 问题的提出 250

2 算术均值法 251

3 傅里叶级数部分和的算术均值的积分公式 253

4 傅里叶级数用算术均值法定和 254

5 幂因子法 260

6 泊松核 261

7 幂因子法在傅里叶级数定和时的应用 262

第6章思考题 269

第7章 二重三角级数、傅里叶积分 272

1 双变量正交系、傅里叶级数 272

2 双变量的基本三角函数系、二重傅里叶级数 274

3 二重傅里叶三角级数部分和的积分公式、收敛准则 279

4 对x和对y具有不同周期的函数的二重傅里叶级数 282

5 傅里叶积分作为傅里叶级数的极限 283

6 依赖于参数的广义积分 286

7 两个预备定理 289

8 傅里叶积分公式的证明 293

9 傅里叶积分的各种形式 294

10 傅里叶变换 296

第8章 贝塞尔函数 301

1 欧拉—贝塞尔方程 301

2 具非负指标的第一种贝塞尔函数 302

3 关于Γ—函数 307

4 具负指标的第一种贝塞尔函数 308

5 欧拉—贝塞尔方程的一般积分 310

6 第二种贝塞尔函数 311

7 相异指标的贝塞尔函数间的关系 313

8 具有形如p=2n十1/2（n是整数）指标的第一种贝塞尔函数 315

9 贝塞尔函数的渐近公式 317

10 贝塞尔函数和有关函数的根 323

11 带参数的欧拉-贝塞尔方程 326

12 函数Jp（λx）的正交性 327

13 积分∫1 0 xJ2 p（λx）dx的计算 330

14 积分∫1 0 xJ2 p（λx）dx的估计 332

第8章思考题 333

第9章 贝塞尔函数作成的傅里叶级数 335

1 傅里叶—贝塞尔级数 335

2 傅里叶—贝塞尔级数的判断准则 337

3 贝塞尔不等式和它的推论 339

4 保证傅里叶—贝塞尔级数均匀收敛的系数的阶 342

5 二次可微函数的傅里叶—贝塞尔系数的阶 346

6 多次可微函数的傅里叶—贝塞尔系数的阶 350

7 傅里叶—贝塞尔级数的逐项微分 353

8 第二类的傅里叶—贝塞尔级数 358

9 3～7的结果在第二类傅里叶—贝塞尔级数的推广 361

10 区间[0，ι]上给出的函数的傅里叶—贝塞尔级数展式 364

第9章思考题 366

第10章 解决若干数学物理问题的特征函数法 368

1 方法的实质 368

2 边界问题通常的提法 374

3 关于特征值的存在问题 375

4 特征函数，它们的正交性 376

5 关于特征值的正负号 379

6 按特征函数展开的傅里叶级数 380

7 特征函数的方法实际上一定可以引向问题的解决吗？ 385

8 广义解 389

9 非齐次问题 393

10 总结 396

第11章 应用 399

1 弦振动方程 399

2 弦的自由振动 401

3 弦的强迫振动 406

4 枢轴纵振动方程 409

5 枢轴的自由振动 411

6 枢轴的强迫振动 415

7 矩形膜振动 417

8 圆形膜沿半径的振动 424

9 圆形膜的振动（一般情形） 428

10 枢轴上热扩散方程 434

11 枢轴两端保持温度为零时热的扩散 437

12 枢轴两端保持常温时热的扩散 439

13 枢轴两端为已知变化温度时热的扩散 441

14 在枢轴两端与周围介质有自由交流发生时热的扩散 442

15 无界枢轴热的扩散 447

16 圆柱面上的热扩散，表面绝热的情况 453

17 圆柱面内部的热扩散，在表面与外界介质有热交流的情况 455

18 圆柱内的热扩散，温度稳定的情况 456

附录Ⅰ 三角多项式的实根个数 460

附录Ⅱ 利用傅里叶级数计算积分 463

附录Ⅲ 傅里叶级数与一致分布 468

附录Ⅳ 傅里叶级数与傅里叶积分的一致收敛 474

附录Ⅴ 塞萨罗意义下的求和，模1的一致分布 478

附录Ⅵ 傅里叶级数与亚纯函数 484

附录Ⅶ 酉辛群上的调和分析——傅里叶级数的球求和 491

附录Ⅷ 一些函数项级数的收敛性改进法 496

附录Ⅸ 利用傅里叶分析进行近似计算 518

附录Ⅹ 傅里叶分析中的实函数方法 534

1 引言 534

2 极大算子的几乎处处有限性与算子列点收敛 537

3 极大算子的几乎处处有限性及其型 538

4 研究极大算子的一般方法 540

5 内插，外推，线性比 542

6 研究卷积算子的特殊方法 544

7 逼近核 549

附录Ⅺ 多重傅里叶级数 552

1 基本性质 553

2 泊松求和公式 560

3 乘子变换 570

4 低于临界指标的可求和性（否定性结论） 583

5 低于临界指标的可求和性 595

6 进一步的结果 603

附录Ⅻ 三角级数论在中国 610

0 总说及记号 610

1 ？[f，x]的和 611

2 特殊三角级数所表示的函数与其系数间的关系 615

3 迫近的程度 620

4 求和的加强 627

5 极度迫近 631

附录ⅩⅢ 傅里叶分析在微波天线中的一点初步运用 635