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引言 1

第一章 控制不等式 5

1.1 增函数与凸函数 5

1.2 凸函数的推广 11

1.2.1 对数凸函数 11

1.2.2 弱对数凸函数 11

1.2.3 几何凸函数 12

1.2.4 调和凸函数 15

1.2.5 MN凸函数 15

1.2.6 Wright-凸函数 19

1.3 控制不等式的定义及基本性质 20

1.4 一些常用控制不等式 31

1.5 凸函数与控制不等式 44

1.6 Karamata不等式的推广 51

第二章 Schur凸函数的定义和性质 55

2.1 Schur凸函数的定义和性质 55

2.2 凸函数与Schur凸函数 67

2.3 Karamata不等式的若干应用 75

2.3.1 整幂函数不等式的控制证明 76

2.3.2 一个有理分式不等式的加细 80

2.3.3 一类含有幂平均，算术平均和几何平均的不等式 87

2.3.4 钟开来不等式的加强 93

2.3.5 凸函数的两个性质的控制证明 94

2.4 Schur凸函数的推广 97

2.4.1 Schur几何凸函数 97

2.4.2 Schur调和凸函数 104

2.4.3 Schur幂凸函数 107

2.4.4 一类条件不等式的控制证明 114

2.5 凸函数和Schur凸函数的对称化 120

2.6 抽象受控不等式 135

2.6.1 抽象受控不等式 135

2.6.2 抽象受控不等式的同构映射 147

第三章 Schur凸函数与初等对称函数不等式 149

3.1 初等对称函数及其对偶式的Schur凸性 149

3.2 初等对称函数商或差的Schur凸性 162

3.2.1 初等对称函数商的Schur凸性 162

3.2.2 初等对称函数差的Schur凸性 172

3.2.3 初等对称函数差或商的复合函数的Schur凸性 182

3.3 初等对称函数的某些复合函数的Schur凸性 185

3.3.1 复合函数Ek（x/1－x）的Schur凸性 185

3.3.2 复合函数Ek（1－x/x）的Schur凸性 187

3.3.3 复合函数Ek（1＋x/1－x）的Schur凸性 190

3.3.4 复合函数Ek（1/x－x）的Schur凸性 192

3.3.5 复合函数Ek（1/x－μ）的Schur调和凸性 193

3.3.6 复合函数Ek（f（x））的Schur凸性 194

3.4 几个著名不等式的证明与推广 199

3.4.1 Weierstrass不等式 200

3.4.2 Adamovic不等式 204

3.4.3 Chrystal不等式 208

3.4.4 Bernoulli不等式 211

3.4.5 Rado-Popoviciu不等式 218

3.4.6 幂平均不等式 222

3.4.7 算术-几何-调和平均值不等式 232

第四章 Schur凸函数与其他对称函数不等式 235

4.1 完全对称函数的Schur凸性 235

4.1.1 完全对称函数的Schur凸性 235

4.1.2 完全对称函数的推广 245

4.1.3 一个完全对称函数复合函数的Schur凸性 251

4.2 Hamy对称函数的Schur凸性 255

4.2.1 Hamy对称函数及其推广 255

4.2.2 Hamy对称函数的对偶式 261

4.2.3 Hamy对称函数对偶式的复合函数 264

4.3 Muirhead对称函数的Schur凸性及其应用 277

4.3.1 Muirhead对称函数的Schur凸性 277

4.3.2 涉及Muirhead对称函数的不等式 283

4.3.3 Jensen-Pe？ari？-Svrtan-Fan型不等式 286

4.3.4 含剩余对称平均的不等式 292

4.4 Kantorovich不等式的推广 297

4.5 一对互补对称函数的Schur凸性 304

第五章 Schur凸函数与序列不等式 317

5.1 凸数列的定义及性质 317

5.2 各种凸数列 330

5.3 关于凸序列一个不等式 337

5.4 凸数列的几个加权和性质的控制证明 345

5.5 离散Steffensen不等式的加细 354

5.6 凸函数单调平均不等式的改进 357

5.7 一类跳阶乘不等式 373

5.8 等差数列和等比数列的凸性和对数凸性 379

5.8.1 等差数列的凸性和对数凸性 379

5.8.2 等比数列的凸性和对数凸性 383

第六章 Schur凸函数与积分不等式 387

6.1 涉及Hadamard积分不等式的Schur凸函数 387

6.2 涉及Hadamard型积分不等式的Schur凸函数 403

6.2.1 涉及Dragomir积分不等式的Schur凸函数 403

6.2.2 涉及Lan He积分不等式的Schur凸函数 419

6.2.3 涉及广义积分拟算术平均的Schur凸函数 426

6.3 涉及Schwarz积分不等式的Schur凸函数 432

6.4 涉及Chebyshev积分不等式的Schur凸函数 436

6.5 受控型积分不等式 443

6.6 Schur凸函数与其他积分不等式 448

6.7 Schur凸函数与伽马函数 453

第七章 Schur凸函数与二元平均值不等式 461

7.1 Stolarsky平均的Schur凸性 461

7.2 Gini平均的Schur凸性 473

7.3 Gini平均与Stolarsky平均的比较 496

7.4 广义Heron平均的Schur凸性 512

7.4.1 广义Heron平均 512

7.4.2 广义Heron平均的推广 525

7.5 其他二元平均的Schur凸性 535

7.5.1 广义Muirhead平均 535

7.5.2 Seiffert型平均 538

7.5.3 指数型平均 543

7.5.4 三角平均 546

7.5.5 Lehme平均 549

7.5.6“奇特”平均 555

7.5.7 Toader型积分平均 561

7.5.8 椭圆纽曼平均 564

7.6 某些均值差的Schur凸性 565

7.6.1 某些均值差的凸性和Schur凸性 565

7.6.2 某些均值差的Schur几何凸性 568

7.6.3 某些均值差的Schur几何凸性和调和凸性 577

7.6.4 某些均值商的Schur凸性 592

7.7 双参数齐次函数 593

第八章 Schur凸函数与多元平均值不等式 609

8.1 第三类k次对称平均的Schur凸性 609

8.1.1 第三类k次对称平均 609

8.1.2 第三类k次对称平均的函数推广 612

8.1.3 第三类k次对称平均的变形 620

8.2 n元加权广义对数平均的Schur凸性 628

8.3 关于幂平均不等式的最优值 640

8.4n元平均商的p阶Schur-幂凸性 655

8.5 Bonferroni平均的Schur凸性 659

第九章 Schur凸函数与几何不等式 663

9.1 Schur凸函数与三角形不等式 663

9.1.1 三角形中的控制关系 663

9.1.2 某些三角形内角不等式的控制证明 668

9.1.3 其他三角形不等式的控制证明 675

9.1.4 多边形不等式的控制证明 676

9.2 Schur凸函数与单形不等式 683

9.2.1 单形中的记号与等式 683

9.2.2 单形的伍德几何不等式 685

9.2.3 单形的Berker不等式 686

9.2.4 单形的Milosevi？不等式 687

9.2.5 对称函数与单形不等式 688

参考文献 694

人名索引 745

主题索引 752

编辑手记 758