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第一篇 高等数学 1

第一章 函数、极限和连续 1

第一节 重要概念、定理和公式的剖析 1

一、函数的基本性质 1

二、分段函数 6

三、反函数 6

四、复合函数 7

五、初等函数 10

六、函数的极限及其连续性 10

七、重要公式和定理 16

第二节 重要题型的解题方法和技巧 23

题型一 未定式的定值法 23

题型二 类未定式的计算 27

题型三 数列的极限 28

题型四 极限式中常数的确定（重点） 33

题型五 函数连续或间断点的判定 36

第三节 思维定势及综合题解析 38

一、思维定势 38

二、综合题解析 42

习题一 43

第二章 导数与微分 47

第一节 重要概念、定理和公式的剖析 47

一、导数与微分的定义 47

二、重要定理 51

三、导数与微分的运算法则 51

四、基本公式 51

五、弧微分与曲率 52

六、高阶导数的定义与基本公式 53

第二节 重要题型的解题方法和技巧 53

题型一 求复合函数的导数或微分 53

题型二 求参数方程的导数或微分 55

题型三 求隐函数的导数或微分 56

题型四 求幂指函数的导数或微分 56

题型五 求表达式为若干因子连乘积、乘方、开方或商形式的函数的导数或微分 57

题型六 求分段函数的导数或微分 57

题型七 求高阶导数 58

第三节 思维定势及综合题解析 62

一、思维定势 62

二、综合题解析 62

习题二 65

第三章 不定积分 68

第一节 重要概念、定理和公式的剖析 68

一、不定积分的基本概念 68

二、基本性质 68

三、基本公式 69

四、基本积分法 70

第二节 重要题型的解题方法和技巧 87

题型一 有理函数的不定积分 87

题型二 简单无理函数的不定积分 88

题型三 三角有理式的不定积分 89

题型四 含有反三角函数的不定积分 93

题型五 抽象函数的不定积分 93

题型六 分段函数的不定积分 94

第三节 思维定势及综合题解析 95

一、思维定势 95

二、综合题解析 96

习题三 98

第四章 定积分及反常积分 102

第一节 重要概念、定理和公式的剖析 102

一、基本性质 102

二、定理和公式 105

三、定积分的计算法 108

四、反常积分的基本概念 112

第二节 重要题型的解题方法和技巧 113

题型一 分段函数的定积分 113

题型二 被积函数带有绝对值符号的定积分 115

题型三 被积函数中含有“变限积分”的定积分 116

题型四 对称区间上的定积分 118

题型五 被积函数的分母为两项，而分子为其中一项的定积分 119

题型六 由三角有理式与其他初等函数通过四则运算或复合而成的定积分 120

题型七 已知一定积分，求另一定积分 121

题型八 定积分等式的证明 122

题型九 定积分不等式的证明 130

题型十 计算反常积分 135

题型十一 反常积分的判敛 136

第三节 思维定势及综合题解析 137

一、思维定势 137

二、综合题解析 138

习题四 139

第五章 微分中值定理 143

第一节 重要概念、定理和公式的剖析 143

第二节 重要题型的解题方法和技巧 144

题型一 闭区间上连续函数命题的证明 144

题型二 证明给出的函数f（x）满足某中值定理 147

题型三 证明某个函数恒等于一个常数的命题 148

题型四 命题f（n）（ξ）＝0的证明 149

题型五欲证结论：至少存在一点ξ∈（a，b），使得f（n）（ξ）＝k（k≠0）或由a，b，f（a），f（b），ξ，f（ξ），f′（ξ），…，f（n）（ξ）所构成的代数式成立 150

题型六 欲证结证：在（a，b）内至少存在两点ξ，η（ξ≠η）满足某个代数式 153

第三节 思维定势及综合题解析 154

一、思维定势 154

二、综合题解析 156

习题五 157

第六章 常微分方程 160

第一节 重要概念、定理和公式的剖析 160

一、基本概念 160

二、二阶线性微分方程解的结构 160

三、二阶常系数线性微分方程 162

四、n阶常系数线性微分方程 162

第二节 重要题型的解题方法和技巧 165

题型一 一阶微分方程的计算 165

题型二 可降阶的高阶方程的求解 171

题型三 计算二阶线性微分方程 173

题型四 微分方程的应用 176

第三节 思维定势及综合题解析 179

一、思维定势 179

二、综合题解析 179

习题六 181

第七章 一元微积分的应用 184

第一节 重要概念、定理和公式的剖析 184

一、函数的单调增减性定理 184

二、函数的极值与最值 185

三、函数凹凸性的判别与函数的拐点 186

四、微元法及其应用 188

第二节 重要题型的解题方法和技巧 190

题型一 求函数的极值 190

题型二 求函数的最值 191

题型三 关于方程根的讨论 192

题型四 函数渐近线的求解 197

题型五 函数作图 198

题型六 求平面图形的面积 199

题型七 求立体的体积 201

题型八 求平面曲线的弧长 202

题型九 求旋转体的侧面积 203

题型十 变力做功、引力、液体的静压力 204

第三节 思维定势与综合题解析 207

一、思维定势 207

二、综合题解析 208

习题七 211

第八章 多元函数微分学 214

第一节 重要概念、定理和公式的剖析 214

一、二元函数的定义 214

二、二元函数的极限及连续性 215

三、偏导数、全导数及全微分 216

四、基本定理 217

五、多元函数的极值 219

六、条件极值与无条件极值 220

第二节 重要题型的解题方法和技巧 220

题型一 简单显函数u＝f（x，y，z）的微分法 220

题型二 复合函数微分法 221

题型三 隐函数微分法 224

题型四 求无条件极值 227

题型五 求条件极值 228

题型六 求最值 229

第三节 思维定势及综合题解析 231

一、思维定势 231

二、综合题解析 231

习题八 232

第九章 重积分 234

第一节 重要概念、定理和公式的剖析 234

一、基本概念 234

二、性质 234

三、公式 236

四、二重积分的解题技巧 237

第二节 重要题型的解题方法和技巧 239

题型一 更换二重积分的积分次序 239

题型二 选择二重积分的积分次序 241

题型三 二重积分坐标系的选择 243

题型四 分段函数的二重积分的计算 244

题型五 二重积分等式的证明 247

题型六 二重积分不等式的证明 249

第三节 思维定势及综合题解析 251

一、思维定势 251

二、综合题解析 252

习题九 253

第十章 函数方程与不等式证明 256

第一节 函数方程 256

一、利用函数表示法与用何字母表示无关的“特性”求解方程 256

二、利用极限求解函数方程 257

三、利用导数的定义求解方程 258

四、利用变上限积分的可导性求解方程 258

五、利用连续函数的可积性及原函数的连续性求解 259

六、利用解微分方程的方法求解f（x） 260

第二节 不等式的证明 262

一、引人参数法 262

二、利用微分中值定理 263

三、利用函数的单调增减性（重点） 265

四、利用函数的极值与最值 267

五、利用函数图形的凹凸性 268

六、利用泰勒展开式 269

七、杂例 270

习题十 271

第二篇 线性代数 274

第一章 行列式 274

第一节 重要概念、定理和公式的剖析 274

一、排列与逆序 274

二、n阶行列式的定义 275

三、行列式的基本性质 277

四、行列式按行（列）展开定理 279

五、重要公式与结论 281

第二节 重要题型的解题方法和技巧 282

题型一 抽象行列式的计算 282

题型二 低阶行列式的计算 282

题型三 n阶行列式的计算 284

第三节 思维定势与综合题解析 289

一、思维定势 289

二、综合题解析 290

习题一 291

第二章 矩阵 294

第一节 重要概念、定理和公式的剖析 294

一、矩阵的概念 294

二、矩阵的运算 295

三、逆矩阵的概念 297

四、利用伴随矩阵求逆矩阵 298

五、矩阵的初等变换与求逆 299

六、分块矩阵及其求逆 300

七、矩阵的秩及其求法 300

第二节 重要题型的解题方法和技巧 300

题型一 求逆矩阵 300

题型二 求矩阵的高次幂Am 303

题型三 有关初等矩阵的命题 305

题型四 解矩阵方程 306

题型五 求矩阵的秩 308

题型六 关于矩阵对称、反对称命题的证明 310

题型七 关于方阵A可逆的证明 310

题型八 与A的伴随阵A＊有关联的命题的证明 311

题型九 关于矩阵秩的命题的证明 312

第三节 思维定势与综合题解析 314

一、思维定势 314

二、综合题解析 315

习题二 316

第三章 向量 322

第一节 重要概念、定理和公式的剖析 322

一、向量的概念与运算 322

二、向量间的线性关系 322

三、向量组的秩和矩阵的秩 323

四、向量空间 324

五、重要定理与公式 326

六、小结 326

第二节 重要题型的解题方法和技巧 327

题型一 讨论向量组的线性相关性 327

题型二 有关向量组线性相关性命题的证明 331

题型三 判定一个向量是否可由一组向量线性表示 337

题型四 有关向量组线性表示命题的证明 338

题型五 求向量组的极大线性无关组 340

题型六 有关向量组或矩阵秩的计算与证明 341

题型七 与向量空间有关的命题 345

第三节 思维定势与综合题解析 347

一、思维定势 347

二、综合题解析 347

习题三 349

第四章 线性方程组 352

第一节 重要概念、定理和公式的剖析 352

一、克莱姆法则 352

二、线性方程组的基本概念 352

三、线性方程组解的判定 353

四、非齐次线性方程组与其导出组的解的关系 354

五、线性方程组解的性质 354

六、线性方程组解的结构 354

第二节 重要题型的解题方法和技巧 355

题型一 基本概念题（解的判定、性质、结构） 355

题型二 含有参数的线性方程组解的讨论 359

题型三 讨论两个方程组的公共解 365

题型四 有关基础解系的证明 366

第三节 思维定势与综合题解析 368

一、思维定势 368

二、综合题解析 368

习题四 373

第五章 特征值和特征向量 378

第一节 重要概念、定理和公式的剖析 378

一、矩阵的特征值和特征向量的概念 378

二、相似矩阵及其性质 378

三、矩阵可相似对角化的充要条件 379

四、实对称矩阵及其性质 379

五、重要公式与结论 380

第二节 重要题型的解题方法和技巧 381

题型一 求数值矩阵的特征值与特征向量 381

题型二 求抽象矩阵的特征值、特征向量 382

题型三 特征值、特征向量的逆问题 383

题型四 相似的判定及其逆问题 386

题型五 判断A是否可对角化 388

题型六 有关特征值与特征向量的证明题 391

第三节 思维定势与综合题解析 393

一、思维定势 393

二、综合题解析 393

习题五 399

第六章 二次型 402

第一节 重要概念、定理和公式的剖析 402

一、二次型及其矩阵表示 402

二、化二次型为标准型 402

三、配方法和正交变换法 403

四、二次型和矩阵的正定性及其判别法 404

第二节 重要题型的解题方法和技巧 407

题型一 二次型所对应的矩阵及其性质 407

题型二 化二次型为标准形 408

题型三 已知二次型通过正交变换化为标准形，反求参数 412

题型四 有关二次型及其矩阵正定性的判定与证明 414

第三节 思维定势与综合题解析 416

一、思维定势 416

二、综合题解析 417

习题六 418