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第0章 一个分支过程的例子 1

0.0引言 1

0.1典型孩子（下一代）的个数X 1

0.2第n代个体的数目Zn 2

0.3利用条件期望 3

0.4消亡概率π 4

0.5停下来思考：测度 5

0.6我们的第一个鞅 7

0.7期望列的敛散性 8

0.8求M∞的分布 9

0.9具体的例子 10

A部分 基础 14

第1章 测度空间 14

1.0引言 14

1.1代数与σ-代数的定义 15

1.2例子：博雷尔（Borel）σ-代数，B （S）， B=B（R） 17

1.3有关集函数的定义 18

1.4测度空间的定义 19

1.5有关测度的定义 19

1.6引理：扩张的唯一性，π-系 20

1.7卡拉泰奥多里（Caratheodory）扩张定理 20

1.8 （（0，1]，B3（0，1]） 上的勒贝格（Lebesgue）测度Leb 21

1.9引理：基本不等式 22

1.10引理：测度的单调收敛性 22

1.11例子与告诫 23

第2章 事件 25

2.1试验的模型：（Ω，F，P） 25

2.2直观含义 25

2.3序偶（Ω， F）的例子 26

2.4几乎必然（a.s.） 27

2.5提醒：lim sup， lim inf， ↓lim，等等 28

2.6定义：lim sup En， （En， i。o.） 29

2.7博雷尔-肯泰利（Borel-Cantelli）第一引理（BC 1） 30

2.8定义：lim inf En， （En， ev） 30

2.9练习 31

第3章 随机变量 32

3.1定义：∑-可测函数，m∑，（m∑）+，b∑ 32

3.2可测性基本命题 33

3.3引理：可测函数的和与积为可测 33

3.4复合函数可测性引理 34

3.5有关函数列的inf， lim inf等的可测性引理 34

3.6定义：随机变量 35

3.7例子：掷币 35

3.8定义：由Ω上的函数族所产生的σ-代数 36

3.9定义：分布，分布函数 37

3.10分布函数的性质 37

3.11具有给定分布函数的随机变量的存在性 38

3.12具有给定分布函数的随机变量的斯科罗霍德（Skorokhod）表示 38

3.13生成的σ-代数（一个讨论） 40

3.14单调类定理 41

第4章 独立性 42

4.1独立性的定义 42

4.2 π-系引理；更常见的定义 43

4.3博雷尔-肯泰利第二引理（B C2） 44

4.4例 45

4.5一个有关建模的基本问题 46

4.6一个掷币模型及其应用 46

4.7记号：IID的随机变量（RVs） 48

4.8随机过程：马尔可夫（Markov）链 48

4.9猴子敲出莎士比亚全集 49

4.10定义：尾σ-代数 50

4.11定理：柯尔莫哥洛夫（Kolmogorov） 0-1律 51

4.12练习与告诫 53

第5章 积分 54

5.0符号及其他：μ（f）：=：？fdμ，μ（f；A） 54

5.1非负简单函数的积分，SF + 55

5.2 μ（f）（f ？ （m∑）+）的定义 56

5.3单调收敛定理（MON） 56

5.4有关函数的法都（Fatou）引理（FATOU） 58

5.5“线性” 59

5.6f的正部与负部 59

5.7可积函数，？1（S， ∑，μ） 59

5.8线性 60

5.9控制收敛定理（DOM） 60

5.10谢菲（Scheffe）引理（SCHEFFE） 61

5.11关于一致可积性 62

5.12标准机器 62

5.13子集上的积分 62

5.14测度fμ（f ？ （m∑）+） 63

第6章 期望 65

6.0引言 65

6.1期望的定义 65

6.2收敛性定理 66

6.3记号E（X；F） 66

6.4马尔可夫不等式 67

6.5非负随机变量和 67

6.6有关凸函数的詹森（Jensen）不等式 68

6.7？p范数的单调性 69

6.8施瓦兹（Schwarz）不等式 70

6.9 ？2空间：毕达哥拉斯（Pythagoras）定理、协方差及其他 71

6.10 ？p空间（1≤p ＜ ∞）的完备性 73

6.11正投影 74

6.12期望的“初等公式” 76

6.13从詹森不等式导出的赫尔德（Holder）不等式 77

第7章 一个简单的强大数定律 79

7.1“独立性意味着相乘”（又一例！） 79

7.2强大数定律（最初的版本） 80

7.3切比雪夫（Chebyshev）不等式 81

7.4魏尔斯特拉斯（Weierstrass）逼近定理 82

第8章 乘积测度 84

8.0引言和建议 84

8.1乘积可测结构∑1 × ∑2 85

8.2乘积测度，富比尼（Fubini）定理 86

8.3联合分布、联合概率密度函数 88

8.4独立性与乘积测度 89

8.5 B（R） n=B（Rn） 89

8.6 n重扩张 90

8.7概率空间的无穷乘积 90

8.8关于联合分布存在性的技术性注记 91

B部分 鞅论 94

第9章 条件期望 94

9.1一个启发性例子 94

9.2基本定理与定义（柯尔莫哥洛夫，1933） 95

9.3直观意义 96

9.4作为最小二乘最优预报的条件期望 96

9.5定理9.2的证明 96

9.6与传统表示的一致性 98

9.7条件期望的性质（一张表） 99

9.8 9.7节中诸性质的证明 100

9.9正则条件概率与概率密度函数 102

9.10在独立性假设下的条件化 103

9.11对称性的应用（一个例子） 104

第10章 鞅 105

10.1过滤的空间 105

10.2适应的过程 105

10.3鞅，上鞅，下鞅 106

10.4鞅的一些例子 107

10.5公平与不公平赌博 108

10.6可料过程，赌博策略 109

10.7一个基本原则：你无法改变这个系统！ 109

10.8停时 110

10.9停止的上鞅仍是上鞅 111

10.10杜布（Doob）可选停止定理 112

10.11等待几乎必然要发生的事 113

10.12简单随机游动的击中时 114

10.13马尔可夫链的非负上调和函数 116

第11章 收敛定理 119

11.1图说明一切 119

11.2上穿 120

11.3杜布上穿引理 121

11.4推论 121

11.5杜布“向前”收敛定理 122

11.6告诫 123

11.7推论 123

第12章 ？2中的有界鞅 124

12.0引言 124

12.1 ？2中的鞅：正交增量性 125

12.2 ？2中的零均值独立随机变量之和 126

12.3随机信号 128

12.4一个对称化技巧：扩展样本空间 128

12.5柯尔莫哥洛夫三级数定理 130

12.6蔡查罗（Cesaro）引理 131

12.7克罗内克（Kronecker）引理 131

12.8方差约束下的强大数定律 132

12.9柯尔莫哥洛夫截尾引理 133

12.10柯尔莫哥洛夫强大数定律（SLLN） 134

12.11杜布分解 135

12.12尖括号过程（M） 136

12.13 （M）∞有限时M相应的收敛性 136

12.14一个有关？2中鞅的平凡“强大数定律” 138

12.15博雷尔-肯泰利引理的莱维（Levy）推广 139

12.16评论 140

第13章 一致可积性 141

13.1“绝对连续”性 141

13.2定义：一致可积族 142

13.3一致可积性的两个简单的充分条件 143

13.4条件期望的一致可积性 143

13.5依概率收敛 144

13.6有界收敛定理（BDD）的初等证明 145

13.7 ？1收敛的一个充要条件 146

第14章 一致可积（UI）鞅 148

14.0引言 148

14.1一致可积鞅 148

14.2莱维的“向上”定理 149

14.3柯尔莫哥洛夫0-1律的鞅证明 150

14.4莱维的“向下”定理 151

14.5强大数定律的鞅证明 152

14.6杜布的下鞅不等式 153

14.7重对数律：特殊情形 154

14.8有关正态分布的一个标准估计 156

14.9关于指数界的附注；大偏差理论 157

14.10赫尔德不等式的一个推论 157

14.11杜布的？p不等式 158

14.12有关“乘积”鞅的角谷（Kakutani）定理 159

14.13拉东-尼科迪姆（Radon-Nikodym）定理 160

14.14拉东-尼科迪姆定理与条件期望 164

14.15似然比与等价测度 164

14.16似然比与条件期望 165

14.17再回到角谷定理；似然比检验的相容性 165

14.18有关哈代（Hardy）空间的注记及其他（快速阅读！） 166

第15章 应用 169

15.0引言 169

15.1一个平凡的鞅表示结果 170

15.2期权定价；离散时间的布莱克-斯科尔斯（Black-Scholes）公式 171

15.3马比诺吉昂（Mabinogion）羊问题 175

15.4引理15.3（c）的证明 177

15.5 （15.3，d）中结果的证明 179

15.6条件概率的递归性 180

15.7有关二元正态分布的贝叶斯（Bayes）公式 181

15.8单个随机变量的含噪观察值 182

15.9卡尔曼-布西（Kalman-Bucy）滤波 184

15.10套紧的马具（harness） 185

15.11解开的马具1 187

15.12解开的马具2 187

C部分 特征函数 190

第16章 特征函数（CF）的基本性质 190

16.1定义 190

16.2基本性质 191

16.3特征函数的一些应用 191

16.4三个关键的结果 192

16.5原子 193

16.6莱维反演公式 193

16.7表 196

第17章 弱收敛性 197

17.1“漂亮”的定义 197

17.2一个“实用”的公式 198

17.3斯科罗霍德表示 200

17.4 Prob（R）的列紧性 201

17.5紧致性 202

第18章 中心极限定理 203

18.1莱维收敛定理 203

18.2记号0与O 205

18.3一些重要的估计 205

18.4中心极限定理 207

18.5例 207

18.6引理12.4的特征函数法证明 209

附录 212

A1章 第1章附录 212

A1.1 S1的一个不可测子集A 212

A1.2 d-系 213

A1.3邓肯（Dynkin）引理 213

A1.4唯一性引理1.6的证明 214

A1.5 λ-集：“代数”情形 215

A1.6外测度 216

A1.7卡拉泰奥多里引理 217

A1.8卡拉泰奥多里定理的证明 218

A1.9 （（0，1]，B（0，1]）上勒贝格测度存在性的证明 219

A1.10扩张不唯一之例 221

A1.11测度空间的完备化 222

A1.12贝尔（Baire）范畴定理 223

A3章 第3章附录 225

A3.1单调类定理3.14的证明 225

A3.2关于生成的σ-代数的讨论 226

A4章 第4章附录 228

A4.1柯尔莫哥洛夫重对数律 228

A4.2斯特拉森（Strassen）重对数律 228

A4.3一个马氏链模型 229

A5章 第5章附录 231

A5.1双重单调阵列 231

A5.2引理1.10（a）的关键应用 232

A5.3“积分的唯一性” 233

A5.4单调收敛定理的证明 234

A9章 第9章附录 235

A9.1无穷乘积：把事情说清楚 235

A9.2 （A9.1， e）的证明 236

A13章 第13章附录 238

A13.1收敛的方式：定义 238

A13.2收敛的方式：相互间关系 239

A14章 第14章附录 240

A14.1 σ-代数FT（T为一停时） 240

A14.2可选抽样定理（OST）的一个特例 241

A14.3杜布关于一致可积鞅的可选抽样定理 242

A14.4关于一致可积下鞅的结果 243

A16章 第16章附录 244

A16.1积分号下的微分法 244

E章 练习题 246

参考文献 264

索引 267

后记 273