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第一章 一阶微分方程 1

1.1微分方程和解 1

1.1.1微分方程与数学模型 1

1.1.2定义和术语 3

1.1.3初值问题 5

1.2积分法与可分离变量方程 8

1.2.1积分法 8

1.2.2可分离变量方程 9

1.2.3变量替换 13

1.3线性方程 19

1.3.1指数积分因子法 20

1.3.2常数变易法 22

1.3.3化非线性为线性 24

1.4恰当方程 27

1.4.1恰当方程的定义 27

1.4.2积分因子 33

1.5一阶隐式微分方程 36

第二章 一阶线性常微分方程组 41

2.1矩阵与矩阵函数分析初步 42

2.1.1矩阵的特征值与特征向量 42

2.1.2矩阵范数，矩阵序列的收敛性与矩阵指数 42

2.1.3矩阵函数与向量函数 43

2.1.4若尔当块矩阵的矩阵指数函数 45

2.1.5向量函数组的线性相关与线性无关性 46

2.2解的存在与唯一性 48

2.3线性常微分方程组的通解 53

2.3.1线性齐次微分方程组的通解 53

2.3.2线性非齐次微分方程组的通解 59

2.4常系数线性常微分方程组的通解 64

2.4.1常系数线性微分方程组的解的基本表达式 64

2.4.2常系数齐次线性微分方程组的基解矩阵 66

2.4.3常系数非齐次线性微分方程组的求解 76

第三章 高阶线性常微分方程 79

3.1高阶线性常微分方程与一阶线性常微分方程组 79

3.2高阶线性微分方程的通解 82

3.2.1齐次线性方程的通解 85

3.2.2非齐次线性方程的通解 87

3.3高阶常系数线性齐次微分方程的通解 90

3.3.1特征根均是单根的情形 91

3.3.2特征根有重根的情形 93

3.4高阶常系数非齐次线性微分方程的通解 96

3.4.1类型Ⅰ 97

3.4.2类型Ⅱ 99

3.5幂级数解法与拉普拉斯变换法简介 102

3.5.1幂级数解法 102

3.5.2拉普拉斯变换法 103

第四章 非线性微分方程基本理论 106

4.1存在与唯一性定理 106

4.2解的延拓 112

4.3解对初值和参数的连续性与可微性 118

第五章 定性理论与分支方法初步 124

5.1基本概念 124

5.2李雅普诺夫函数方法 130

5.2.1李雅普诺夫函数方法 130

5.2.2双曲奇点的稳定性 132

5.3一维周期微分方程 137

5.4细焦点与极限环 143

5.4.1细焦点及其稳定性 144

5.4.2极限环及其稳定性 148

5.4.3极限环的存在性 152

5.5常见分支现象举例 155

5.5.1鞍结点分支与叉型分支 156

5.5.2 Hopf分支与同宿分支 158

5.5.3近哈密顿系统 160

第六章 常微分方程边值问题 163

6.1基本概念及其可解性 163

6.1.1边值问题的分类 165

6.1.2边值问题的可解性 166

6.2 Sturm-Liouville边值问题的特征值和特征函数 168

6.2.1特征值和特征函数 168

6.2.2特征值和特征函数的性质 170

6.3格林函数 172

6.4上下解方法 175

6.4.1单调迭代方法 175

6.4.2上下解方法 180

参考文献 182