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引言 1

第1章 函数 3

1.1 集合与函数 3

1.1.1 集合 3

1.1.2 函数的概念和基本性质 4

习题1.1 11

1.2 极坐标 12

1.3 本章内容对开普勒问题的应用 13

第2章 极限与连续 15

2.1 数列的极限 15

2.1.1 数列极限的定义 15

2.1.2 收敛数列的性质 19

习题2.1 20

2.2 函数的极限 21

2.2.1 函数极限的定义 21

2.2.2 函数极限的性质 26

习题2.2 27

2.3 无穷小与无穷大 28

2.3.1 无穷小 28

2.3.2 无穷大 29

习题2.3 30

2.4 极限运算法则 31

2.4.1 无穷小运算法则 31

2.4.2 极限运算法则 32

习题2.4 34

2.5 极限存在准则 两个重要极限 34

2.5.1 夹逼准则和重要极限lim x→0 sinx/x=1 34

2.5.2 单调有界收敛准则和重要极限lim x→∞(1+1/x)x=e 36

2.5.3 柯西收敛准则 38

习题2.5 38

2.6 无穷小的比较 39

习题2.6 41

2.7 函数的连续性与间断点 41

2.7.1 函数的连续性 41

2.7.2 函数的间断点 43

习题2.7 45

2.8 连续函数的运算与初等函数的连续性 45

2.8.1 连续函数的和、差、积、商的连续性 45

2.8.2 连续函数的反函数的连续性 46

2.8.3 连续函数的复合函数的连续性 46

2.8.4 初等函数的连续性 46

习题2.8 48

2.9 有界闭区间上连续函数的性质 48

2.9.1 最大值最小值定理 48

2.9.2 零点定理与介值定理 49

习题2.9 49

第3章 导数与微分 51

3.1 导数与微分的概念 51

3.1.1 引例 51

3.1.2 导数的定义 53

3.1.3 微分的定义 54

3.1.4 可微与可导的关系 55

3.1.5 导数与微分的几何意义 55

3.1.6 求导数与微分举例 56

3.1.7 单侧导数 58

3.1.8 函数可微性与连续性的关系 58

习题3.1 58

3.2 微分和求导的法则 59

3.2.1 函数的和、差、积、商的微分与求导法则 59

3.2.2 反函数的微分与求导法则 61

3.2.3 复合函数的微分与求导法则 62

习题3.2 62

3.3 高阶导数 64

3.3.1 定义 64

3.3.2 例子 65

3.3.3 运算法则 66

习题3.3 67

3.4 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率 68

3.4.1 隐函数的导数 68

3.4.2 由参数方程所确定的函数的导数 71

3.4.3 相关变化率 74

习题3.4 75

3.5 微分的简单应用 76

3.5.1 近似计算 76

3.5.2 估计误差 78

3.6 本章内容对开普勒问题的应用 80

第4章 定积分与不定积分 84

4.1 定积分的概念和性质 84

4.1.1 两个实例 84

4.1.2 定积分的定义 86

4.1.3 函数的可积性 87

4.1.4 积分的几何意义 87

4.1.5 定积分的近似计算 88

4.1.6 定积分的基本性质 91

习题4.1 93

4.2 微积分基本公式 94

4.2.1 启发 94

4.2.2 积分上限的函数及其导数 95

4.2.3 牛顿-莱布尼茨公式 96

习题4.2 98

4.3 不定积分的概念与性质 100

4.3.1 不定积分的概念 100

4.3.2 基本积分表 102

4.3.3 不定积分的性质 103

习题4.3 104

4.4 换元积分法 105

4.4.1 第一类换元法（凑微分法） 105

4.4.2 第二类换元法 110

习题4.4 116

4.5 分部积分法 119

习题4.5 122

4.6 有理函数的积分 123

4.6.1 有理函数的积分 123

4.6.2 可化为有理函数的积分举例 126

习题4.6 128

4.7 反常积分 129

4.7.1 无穷限的反常积分 129

4.7.2 无界函数的反常积分 131

习题4.7 133

第5章 微分方程 135

5.1 微分方程的基本概念 135

习题5.1 138

5.2 可分离变量的微分方程 139

习题5.2 145

5.3 齐次方程 146

5.3.1 齐次方程 146

5.3.2 可化为齐次的方程 150

习题5.3 152

5.4 一阶线性微分方程 153

5.4.1 线性方程 153

5.4.2 伯努利方程 157

习题5.4 159

5.5 可降阶的高阶微分方程 161

5.5.1 y(n)=f（x）型的微分方程 161

5.5.2 y″=f（x,y′）型的微分方程 163

5.5.3 y″=f（y,y′）型的微分方程 165

习题5.5 168

5.6 高阶线性微分方程 169

5.6.1 二阶线性微分方程举例 169

5.6.2 线性微分方程的解的结构 171

5.6.3 常数变异法 174

习题5.6 177

5.7 常系数齐次线性微分方程 178

习题5.7 186

5.8 常系数非齐次线性微分方程 187

5.8.1 f(x)=eγxPm（x）型 188

5.8.2 f(x)=eγx［Pl(x)cosωx+Pn(x)siωx］型 190

习题5.8 193

5.9 欧拉方程 194

习题5.9 196

5.10 本章内容对开普勒问题的应用 196

第6章 微分中值定理与导数的应用 199

6.1 微分中值定理 199

6.1.1 罗尔定理 199

6.1.2 拉格朗日中值定理 200

6.1.3 柯西中值定理 201

习题6.1 202

6.2 洛必达法则 204

习题6.2 207

6.3 泰勒公式 208

6.3.1 皮亚诺型余项泰勒公式 209

6.3.2 拉格朗日型余项泰勒公式 211

习题6.3 213

6.4 函数的单调性与曲线的凹凸性 214

6.4.1 函数单调性的判别法 214

6.4.2 曲线的凹凸性与拐点 217

习题6.4 219

6.5 函数的极值与最大值最小值 220

6.5.1 函数的极值及其求法 220

6.5.2 最大值最小值问题 223

习题6.5 228

6.6 函数图形的描绘 230

6.6.1 曲线的渐近线 230

6.6.2 利用导数作函数的图形 232

习题6.6 234

6.7 曲率 234

6.7.1 曲率的定义 234

6.7.2 曲率的计算公式 236

6.7.3 曲率圆与曲率半径 238

习题6.7 239

6.8 方程的近似解 240

6.8.1 二分法 241

6.8.2 切线法 242

第7章 定积分的应用 245

7.1 微元法的基本思想 245

7.2 平面图形的面积 247

7.2.1 直角坐标系下的面积公式 247

7.2.2 边界曲线由参数方程表示时的面积公式 249

7.2.3 极坐标系下的面积公式 250

习题7.2 251

7.3 体积 252

7.3.1 已知平行截面面积，求立体的体积 252

7.3.2 旋转体的体积 254

7.3.3 柱壳法 256

习题7.3 257

7.4 平面曲线的弧长和旋转体的侧面积 258

7.4.1 弧长的概念 258

7.4.2 直角坐标情形 259

7.4.3 参数方程情形 260

7.4.4 极坐标情形 261

7.4.5 旋转体的侧面积 261

习题7.4 264

7.5 功水压力和引力 266

7.5.1 变力沿直线所做的功 266

7.5.2 静止液体对薄板的侧压力 268

7.5.3 引力 269

习题7.5 271

7.6 本章内容对开普勒问题的应用 273

第8章 多元函数微分法及其应用 305

第9章 重积分 372

第10章 曲线积分与曲面积分 413

第11章 无穷级数 471

习题答案 275