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第1章 函数 1

1.1 函数及其性质 1

1.1.1 函数的概念 1

1.1.2 函数的几种特性 4

1.1.3 反函数 5

习题1-1 5

1.2 初等函数 6

1.2.1 基本初等函数 6

1.2.2 复合函数 7

1.2.3 初等函数 7

习题1-2 8

第2章 极限与连续 9

2.1 极限的定义 9

2.1.1 函数的极限 9

2.1.2 数列的极限 12

2.1.3 极限的性质 14

2.1.4 无穷小 15

2.1.5 无穷大 17

习题2-1 19

2.2 极限的运算 19

2.2.1 极限运算法则 19

2.2.2 两个重要极限 22

2.2.3 无穷小的比较 24

习题2-2 26

2.3 函数的连续性 27

2.3.1 函数的连续性定义 27

2.3.2 初等函数的连续性 29

2.3.3 闭区间上连续函数的性质 30

习题2-3 32

第3章 导数与微分 33

3.1 导数的概念 33

3.1.1 两个实例 33

3.1.2 导数的定义 35

3.1.3 导数的几何意义 38

3.1.4 函数的可导性与连续性的关系 39

习题3-1 40

3.2 初等函数的求导问题 40

3.2.1 基本初等函数的导数公式 41

3.2.2 导数的四则运算法则 44

3.2.3 复合函数的求导法则 46

3.2.4 反函数的求导法则 49

3.2.5 隐函数求导法 51

3.2.6 参数方程确定的函数的求导法 53

习题3-2 54

3.3 高阶导数 56

3.3.1 高阶导数的定义 56

3.3.2 n阶导数公式 58

习题3-3 60

3.4 函数的微分 60

3.4.1 微分的定义 60

3.4.2 微分的几何意义 62

3.4.3 微分的计算 63

习题3-4 65

第4章 导数与微分的应用 67

4.1 微分中值定理 67

4.1.1 罗尔定理 67

4.1.2 拉格朗日中值定理 68

4.1.3 柯西中值定理 70

习题4-1 70

4.2 洛必达法则 71

4.2.1 0/0型未定式 71

4.2.2 ∞/∞型未定式 72

4.2.3 其他未定式 73

习题4-2 75

4.3 函数单调性的判别 75

习题4-3 78

4.4 函数的极值及其求法 79

习题4-4 83

4.5 函数的最大值与最小值 83

习题4-5 86

4.6 曲线的凹凸与拐点 87

4.6.1 曲线的凹凸定义和判定法 88

4.6.2 拐点的定义和求法 89

习题4-6 91

4.7 函数图像的描绘 91

4.7.1 曲线的水平渐近线和垂直渐近线 92

4.7.2 函数图像的描绘 93

习题4-7 97

4.8 曲线的曲率 97

4.8.1 弧微分 98

4.8.2 曲率的概念 99

4.8.3 曲率的计算公式 101

4.8.4 曲率圆与曲率半径 103

习题4-8 104

4.9 微分在近似计算及误差估计中的应用 104

4.9.1 近似计算 104

4.9.2 误差估计 106

习题4-9 108

4.10 微分在经济学中的应用 108

4.10.1 经济学中常见的几个函数 108

4.10.2 边际概念 113

4.10.3 函数的弹性 114

4.10.4 极值应用问题 117

习题4-10 123

第5章 不定积分 125

5.1 不定积分的定义与性质 125

5.1.1 原函数 125

5.1.2 不定积分的定义 127

5.1.3 不定积分的几何意义 128

5.1.4 不定积分的性质 129

习题5-1 130

5.2 不定积分的计算方法 131

5.2.1 直接积分法 131

习题5-2（一） 133

5.2.2 换元积分法 134

习题5-2（二） 147

5.2.3 分部积分法 149

习题5-2（三） 154

5.3 几种特殊类型函数的积分 155

5.3.1 有理函数的积分 155

5.3.2 三角函数有理式的积分 161

5.3.3 简单无理函数的积分 163

习题5-3 164

5.4 积分表的使用 165

习题5-4 167

第6章 定积分 168

6.1 定积分的概念 168

6.1.1 引例 168

6.1.2 定积分的概念 170

6.1.3 定积分的几何意义 171

6.1.4 定积分的性质 172

习题6-1 173

6.2 微积分基本公式 173

6.2.1 变上限的定积分 173

6.2.2 微积分的基本公式 175

习题6-2 176

6.3 定积分的积分方法 176

6.3.1 定积分的换元法 177

6.3.2 定积分的分部法 179

习题6-3 180

6.4 广义积分 180

6.4.1 无穷区间上的广义积分 180

6.4.2 被积函数有无穷间断点的广义积分 182

习题6-4 183

第7章 定积分的应用 185

7.1 定积分的几何应用 185

7.1.1 定积分应用的微元法 185

7.1.2 定积分在几何上的应用 187

习题7-1 193

7.2 定积分的物理应用 193

7.2.1 功 193

7.2.2 液体内部的压力 195

7.2.3 转动惯量 196

习题7-2 197

7.3 定积分在经济学中的应用 197

习题7-3 199

第8章 多元微积分 200

8.1 多元函数的基本概念 200

8.1.1 空间直角坐标系 200

8.1.2 多元函数的概念 202

8.1.3 二元函数的极限及连续性 203

习题8-1 205

8.2 偏导数与全微分 205

8.2.1 偏导数 205

8.2.2 全微分 207

习题8-2 210

8.3 二元复合函数与隐函数的微分法 211

8.3.1 复合函数的微分法 211

8.3.2 隐函数的微分法 213

习题8-3 214

8.4 二元函数的极值 215

8.4.1 二元函数的极值 215

8.4.2 二元函数的最大值与最小值 217

8.4.3 条件极值问题 219

习题8-4 221

8.5 重积分 221

8.5.1 二重积分的概念 221

8.5.2 二重积分的性质 223

8.5.3 二重积分计算法 224

习题8-5 228

8.6 重积分的应用 229

8.6.1 重积分的几何应用 229

8.6.2 重积分的力学应用——求薄片的重心 232

习题8-6 233

附录A 常用数学公式 234

附录B 基本初等函数导数与微分公式表 241

附录C 基本积分公式 242

附录D 简易积分表 244

习题参考答案 256