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第十五章 曲线积分·斯蒂尔切斯积分 1

1．第一型曲线积分 1

543．第一型曲线积分的定义 1

544．约化为普通定积分 3

545．例 5

2．第二型曲线积分 8

546．第二型曲线积分的定义 8

547．第二型曲线积分的存在与计算 10

548．闭路的情形·平面的定向 12

549．例 14

550．用取在折线上的积分的逼近法 17

551．用曲线积分计算面积 18

552．例 20

553．两不同型曲线积分间的联系 23

554．物理问题 25

3．曲线积分与道路无关的条件 29

555．与全微分相关问题的提出 29

556．与道路无关积分的微分法 30

557．用原函数来计算曲线积分 32

558．恰当微分的判别与在矩形区域的情况下原函数的求法 33

559．推广到任意区域的情形 34

560．最终结果 37

561．沿闭路的积分 37

562．非单连通区域或有奇点的情形 38

563．高斯积分 42

564．三维的情形 44

565．例 46

566．物理问题的应用 50

4．有界变差函数 52

567．有界变差函数的定义 52

568．有界变差函数类 54

569．有界变差函数的性质 56

570．有界变差函数的判定法 59

571．连续的有界变差函数 61

572．可求长曲线 63

5．斯蒂尔切斯积分 65

573．斯蒂尔切斯积分的定义 65

574．斯蒂尔切斯积分存在的一般条件 66

575．斯蒂尔切斯积分存在的若干种情况 67

576．斯蒂尔切斯积分的性质 70

577．分部积分法 71

578．化斯蒂尔切斯积分为黎曼积分 72

579．斯蒂尔切斯积分的计算 74

580．例 77

581．斯蒂尔切斯积分的几何说明 82

582．中值定理，估计值 83

583．斯蒂尔切斯积分记号下面的极限过程 85

584．例题及补充 87

585．化第二型曲线积分为斯蒂尔切斯积分 91

第十六章 二重积分 93

1．二重积分的定义及简单性质 93

586．柱形长条体积的问题 93

587．化二重积分为逐次积分 94

588．二重积分的定义 96

589．二重积分存在的条件 97

590．可积函数类 98

591．下积分及上积分作为极限 100

592．可积函数与二重积分的性质 101

593．积分当作区域的可加函数，对区域的微分法 103

2．二重积分的计算 106

594．在矩形区域的情况下化二重积分为逐次积分 106

595．例 109

596．在曲边区域的情况下化二重积分为逐次积分 116

597．例 118

598．力学应用 129

599．例 131

3．格林公式 137

600．格林公式的推演 137

601．应用格林公式到曲线积分的研究 140

602．例题及补充 141

4．二重积分中的变量变换 143

603．平面区域的变换 143

604．例 146

605．曲线坐标中面积的表示法 150

606．补充说明 152

607．几何推演 154

608．例 155

609．二重积分中的变量变换 163

610．与单积分的相似处，在定向区域上的积分 164

611．例 165

5．反常二重积分 171

612．展布在无界区域上的积分 171

613．反常二重积分的绝对收敛性定理 173

614．化二重积分为逐次积分 175

615．无界函数的积分 177

616．反常积分中的变量变换 178

617．例 179

第十七章 曲面面积·曲面积分 193

1．双侧曲面 193

618．曲面的侧 193

619．例 194

620．曲面和空间的定向 196

621．法线方向余弦公式中符号的选择 197

622．分片光滑曲面的情形 198

2．曲面面积 199

623．施瓦茨的例子 199

624．曲面面积的定义 201

625．附注 201

626．曲面面积的存在及其计算 203

627．用内接多面形的接近法 207

628．面积定义的特殊情况 208

629．例 209

3．第一型曲面积分 222

630．第一型曲面积分的定义 222

631．化为寻常的二重积分 222

632．第一型曲面积分在力学上的应用 224

633．例 226

4．第二型曲面积分 231

634．第二型曲面积分的定义 231

635．最简单的特殊情形 233

636．一般情形 235

637．证明的细节 237

638．用曲面积分表立体体积 238

639．斯托克斯公式 241

640．例 243

641．斯托克斯公式在研究空间曲线积分上的应用 248

第十八章 三重积分及多重积分 250

1．三重积分及其计算 250

642．立体质量计算的问题 250

643．三重积分及其存在的条件 251

644．可积函数与三重积分的性质 252

645．展布在平行六面体上的三重积分的计算 254

646．在任何区域上的三重积分的计算 255

647．反常三重积分 257

648．例 257

649．力学应用 263

650．例 264

2．高斯-奥斯特洛格拉得斯基公式 271

651．高斯-奥斯特洛格拉得斯基公式 271

652．高斯-奥斯特洛格拉得斯基公式应用于曲面积分的研究 273

653．高斯积分 274

654．例 276

3．三重积分中的变量变换 279

655．空间的变换及曲线坐标 279

656．例 280

657．曲线坐标下的体积表示法 282

658．补充说明 284

659．几何推演 285

660．例 287

661．三重积分中的变量变换 293

662．例 294

663．立体的吸引力及在内点上的位势 298

4．场论初步 300

664．纯量及向量 300

665．纯量场及向量场 301

666．梯度 302

667．向量通过曲面的流量 303

668．高斯-奥斯特洛格拉得斯基公式·散度 305

669．向量的环流量·斯托克斯公式·旋度 305

670．特殊的场 307

671．向量分析的逆问题 310

672．应用 311

5．多重积分 315

673．两立体间的引力及位势问题 315

674．n维立体的体积．n重积分 317

675．n重积分中的变量变换 318

676．例 321

第十九章 傅里叶级数 341

1．导言 341

677．周期量与调和分析 341

678．欧拉-傅里叶确定系数法 343

679．正交函数系 345

680．三角插值法 349

2．函数的傅里叶级数展开式 351

681．问题的提出·狄利克雷积分 351

682．第一基本引理 353

683．局部化定理 355

684．迪尼与利普希茨的傅里叶级数收敛性的判别法 355

685．第二基本引理 358

686．狄利克雷-若尔当判别法 360

687．非周期函数的情形 361

688．任意区间的情形 362

689．只含余弦或正弦的展开式 363

690．例 366

691．lnΓ（x）的展开式 378

3．补充 381

692．系数递减的级数 381

693．三角级数借助于复变量解析函数的求和法 386

694．例 388

695．傅里叶级数的复数形式 392

696．共轭级数 395

697．多重傅里叶级数 397

4．傅里叶级数的收敛特性 399

698．对于基本引理的几点补充 399

699．傅里叶级数一致收敛性的判别法 401

700．傅里叶级数在不连续点附近的性质；特殊情形 404

701．任意函数的情形 408

702．傅里叶级数的奇异性质·预先的说明 410

703．奇异性质的作法 412

5．与函数可微分性相关的余项估值 414

704．函数与其导数的傅里叶系数间之关系 414

705．在有界函数情形时部分和的估值 415

706．函数有k阶有界导数时余项的估值 416

707．函数有有界变差的k阶导数的情形 418

708．函数及其导数的不连续性对于傅里叶系数的无穷小阶的影响 420

709．在区间［0，π］上给出函数时的情形 423

710．分离奇异性质法 425

6．傅里叶积分 432

711．傅里叶积分作为傅里叶级数的极限情形 432

712．预先的说明 434

713．充分判别法 435

714．基本假设的变形 437

715．傅里叶公式的各种形式 439

716．傅里叶变换 440

717．傅里叶变换的若干性质 442

718．例题与补充 443

719．二元函数的情形 449

7．应用 450

720．用行星的平均近点角所作出的它的偏近点角的表示式 450

721．弦振动的问题 452

722．在有限长杆上的热传导问题 456

723．无穷长杆的情形 459

724．边界条件的变形 461

725．在圆盘上的热传导 462

726．实用调和分析·十二个纵坐标的方法 463

727．例 466

728．二十四个纵坐标的方法 469

729．例 470

730．傅里叶系数的近似值与精确值的比较 471

第二十章 傅里叶级数（续） 474

1．傅里叶级数的运算．完全性与封闭性 474

731．傅里叶级数的逐项积分法 474

732．傅里叶级数的逐项微分法 476

733．三角函数系的完全性 477

734．函数的一致近似法·魏尔斯特拉斯定理 479

735．函数的平均近似法·傅里叶级数的部分和的极值性质 481

736．三角函数系的封闭性·李雅普诺夫定理 484

737．广义封闭性方程 487

738．傅里叶级数的乘法 489

739．封闭性方程的若干应用 490

2．广义求和法在傅里叶级数上应用 495

740．基本引理 495

741．傅里叶级数的泊松-阿贝尔求和法 497

742．关于圆的狄利克雷问题的解 500

743．傅里叶级数的切萨罗-费耶求和法 502

744．傅里叶级数广义求和法的若干应用 504

745．傅里叶级数的逐项微分法 506

3．函数的三角展开式的唯一性 507

746．关于广义导数的辅助命题 507

747．三角级数的黎曼求和法 510

748．关于收敛级数的系数的引理 514

749．三角展开式的唯一性 515

750．关于傅里叶级数的最后的定理 516

751．推广 519

附录 极限的一般观点 522

752．在分析中所遇到的极限的各种类型 522

753．有序集合（狭义的） 523

754．有序集合（广义的） 524

755．有序变量及其极限 526

756．例题 527

757．关于函数极限的附注 529

758．极限理论的推广 530

759．同序变量 532

760．借助于参数的排列法 533

761．化简成整序变量 534

762．有序变量的上极限与下极限 536

索引 539

校订后记 545