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第一章 函数 1

第一节 函数概念 1

一、常量与变量 1

二、函数的定义 1

第二节 函数的表示法和函数的特性 4

一、函数的三种表示法 4

二、分段函数、整自变量函数与反函数 5

三、函数的几种特性 7

第三节 初等函数 9

一、基本初等函数 9

二、复合函数 12

三、初等函数 13

第四节 函数关系的建立 14

一、代数方法 14

二、插值法 15

三、经验公式 17

第五节 曲线的直线化与对数坐标纸 19

一、曲线的直线化 19

二、函数尺与对数坐标纸 22

第二章 函数的极限与连续 30

第一节 函数的极限概念 30

一、x→∞时函数的极限 30

二、x→x0时函数的极限 33

第二节 无穷小与无穷大 37

一、无穷小与无穷大的概念 37

二、无穷小定理 38

第三节 极限的四则运算法则 40

第四节 极限存在准则与两个重要极限 42

一、准则Ⅰ与lim x→0 sinx/x 43

二、准则Ⅱ与lim x→∞ (1+1/x) 44

三、无穷小量的阶 47

第五节 函数的连续性 49

一、函数的连续概念 49

二、间断点及其分类 50

三、初等函数的连续性 53

四、闭区间上连续函数的性质 54

第三章 导数与微分 60

第一节 导数的概念 60

一、两个实例 60

二、函数的导数 61

三、函数的连续性与可导性的关系 64

第二节 几个基本初等函数的导数 65

一、常数的导数 65

二、幂函数的导数 65

三、正弦函数及余弦函数的导数 66

四、对数函数的导数 66

第三节 函数四则运算的导数 67

第四节 复合函数的导数 69

第五节 反函数的导数与隐函数的导数 73

一、反函数的导数 73

二、隐函数的导数 74

三、导数公式的汇集 75

第六节 高阶导数 76

第七节 导数的近似计算 77

一、图解法 77

二、解析法 78

第八节 微分 79

一、微分及其几何意义 79

二、函数四则运算的微分 81

三、一阶微分形式的不变性 81

第九节 由参数方程所确定函数的导数 82

第十节 微分的应用 84

一、近似计算 84

二、误差估计 85

第四章 导数在函数研究上的应用 90

第一节 中值定理 90

一、罗尔定理 90

二、拉格朗日中值定理 91

三、柯西中值定理 92

第二节 洛必达法则 94

第三节 泰勒公式 97

一、用多项式近似表示函数 97

二、泰勒公式 99

第四节 函数的单调性 101

第五节 函数的极值 103

一、极值的求法 104

二、最大值和最小值 107

第六节 曲线的凹凸和拐点 109

一、凹凸和拐点的概念及判定法 109

二、函数图形的描绘 111

第七节 方程的近似解（切线法） 113

第五章 不定积分 118

第一节 原函数与不定积分的概念 118

第二节 基本积分公式和不定积分性质 120

一、基本积分公式 120

二、不定积分的性质 121

第三节 换元积分法 124

第四节 分部积分法 131

第五节 有理函数与无理函数的积分举例 133

一、有理函数的积分举例 133

二、简单无理函数的积分举例 135

第六节 积分表的使用法 137

第六章 定积分及其应用 143

第一节 定积分的概念 143

一、两个实例 143

二、定积分的定义 144

第二节 定积分的性质 146

第三节 牛顿—莱布尼兹公式 149

一、可变上限的定积分 149

二、牛顿—莱布尼兹公式 151

第四节 定积分的计算方法 154

一、换元积分法 154

二、分部积分法 156

三、定积分的近似计算 158

第五节 定积分的应用 161

一、几何应用 161

二、物理应用 167

第六节 广义积分和Γ函数 169

一、无穷区间上的广义积分 169

二、被积函数有无穷型不连续点的广义积分 171

三、Γ函数 172

第七章 微分方程 177

第一节 微分方程的基本概念 177

第二节 一阶微分方程 179

一、可分离变量的微分方程 179

二、一阶线性微分方程 181

三、二阶微分方程求解举例 184

第三节 二阶常系数线性微分方程 185

一、线性微分方程解的结构 185

二、二阶常系数齐次线性微分方程 187

三、二阶常系数非齐次线性微分方程 191

四、线性微分方程组举例 194

第四节 微分方程的拉普拉斯变换解法 196

一、拉普拉斯变换的概念和性质 196

二、微分方程的拉氏变换解法 197

第五节 微分方程在药学中的应用 199

一、微分方程在化学动力学中的应用 199

二、微分方程在药物动力学中的应用 202

第六节 微分方程的数值解 206

一、欧拉折线法和改进欧拉法 207

二、龙格—库塔法 210

第八章 空间解析几何向量代数 214

第一节 空间直角坐标系 214

一、空间点的直角坐标 214

二、空间两点间的距离 215

第二节 向量代数 216

一、向量的概念 216

二、向量的加减法、数乘向量 216

三、向量的坐标 218

四、两向量的数量积 221

五、两向量的向量积 223

第三节 空间曲面和曲线 225

一、曲面及其方程 225

二、柱面 227

三、空间曲线及其方程 228

四、空间曲线在坐标面上的投影 229

第四节 空间平面 230

第五节 空间直线及其方程 232

第六节 二次曲面 235

一、椭球面 235

二、单叶双曲面 236

三、双叶双曲面 236

四、椭圆抛物面 237

五、双曲抛物面 238

六、椭圆锥面 238

第九章 多元函数微分学 244

第一节 多元函数的极限和连续 244

一、多元函数的概念 244

二、二元函数的极限 245

三、二元函数的连续性 246

第二节 偏导数 247

一、一阶偏导数 248

二、高阶偏导数 250

第三节 全微分及其应用 252

一、全微分的概念和计算 252

二、全微分在误差估计中的应用 255

第四节 方向导数与梯度 257

一、方向导数 257

二、梯度 258

第五节 复合函数和隐函数的求导方法 259

一、复合函数的求导法则 259

二、隐函数的求导公式 262

第六节 多元函数微分学的两个几何应用 264

一、空间曲线的切线和法平面 264

二、曲面的切平面和法线 266

第七节 二元函数的泰勒公式与方程组的数值解 268

一、二元函数的泰勒公式 268

二、二元方程组的数值解 270

第八节 极值和条件极值 271

一、多元函数极值的概念和求法 271

二、条件极值的拉格朗日乘数法 274

第十章 重积分 282

第一节 二重积分的概念和性质 282

一、二重积分的概念 282

二、二重积分的性质 283

第二节 二重积分的计算 284

一、利用直角坐标系计算二重积分 284

二、利用极坐标计算二重积分 289

第三节 二重积分的应用 292

一、曲面的面积 293

二、平面薄片的重心 294

三、平面薄片的转动惯量 295

第四节 三重积分 296

一、三重积分的概念 296

二、三重积分的计算 296

三、三重积分的应用 300

第十一章 曲线积分和曲面积分 305

第一节 对弧长的曲线积分 305

一、对弧长的曲线积分的概念及性质 305

二、对弧长的曲线积分的计算 306

第二节 对坐标的曲线积分 308

一、对坐标的曲线积分的概念和性质 308

二、对坐标的曲线积分的计算 310

三、两类曲线积分之间的关系 313

第三节 格林公式及其应用 313

一、格林公式 313

二、平面曲线积分与路径无关的条件 316

第四节 曲面积分 318

一、对面积的曲面积分 318

二、对坐标的曲面积分 320

三、高斯公式 323

第十二章 无穷级数 328

第一节 数项级数 328

一、无穷级数的基本概念 328

二、无穷级数的基本性质 330

三、正项级数的收敛判别法 332

四、交错级数、莱布尼兹判别法 336

五、绝对收敛和条件收敛 337

第二节 幂级数 340

一、函数项级数的一般概念 340

二、幂级数及其收敛性 341

三、幂级数的运算 343

第三节 函数展开为幂级数 45

一、泰勒级数 345

二、初等函数的幂级数展开式 346

第四节 幂级数的应用 349

一、泰勒级数在近似计算上的应用 349

二、欧拉公式 350

第五节 傅里叶级数 351

一、三角函数系的正交性 351

二、周期为2π的函数展开成傅里叶级数 352

三、函数展开为正弦级数或余弦级数 357

四、周期为2T函数的傅里叶级数 358

五、傅里叶级数的复数形式 360

第六节 非周期函数的频谱分析 365

附表Ⅰ 简明积分表 372

附表Ⅱ 拉氏变换简表 376

附录Ⅰ 汉英名词对照 377

附录Ⅱ 习题答案 384