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第一部分 高等数学 3

第一章 函数、极限与连续 3

1知识要点精讲 3

2重要公式与结论 17

3典型题型与例题分析 19

题型一 函数关系的建立 19

题型二 考查函数的特性 21

题型三 求函数极限 22

题型四 求数列极限 31

题型五 求解含参变量的极限 36

题型六 已知极限，求待定参数、函数值、导数及函数 37

题型七 无穷小比较 39

题型八 判断函数的连续性与间断点的类型 40

题型九 确定方程f（x）=0的根 42

题型十 综合题 43

习题精选一 45

习题精选一参考答案 47

第二章 导数与微分 48

1知识要点精讲 48

2重要公式与结论 55

3典型题型与例题分析 56

题型一 利用导数定义解题 56

题型二 求分段函数的导数 60

题型三 导数在几何上的应用 62

题型四 变限积分求导 65

题型五 利用导数公式与运算法则求导 68

题型六 综合题 71

习题精选二 73

习题精选二参考答案 75

第三章 微分中值定理与导数的应用 76

1知识要点精讲 76

2典型题型与例题分析 86

题型一 证明存在ξ，使f（ξ）=0 86

题型二 证明存在ξ，使f（n）（ξ）=0（n=1，2，…） 88

题型三 证明存在ξ，使G（ξ，f（ξ），f＇（ξ），…）=0 90

题型四 直接用拉格朗日中值定理或柯西中值定理证明 93

题型五 双介值问题，要证存在ξ，η使G（f＇（ξ），f＇（η），…）=0 95

题型六 证明存在ξ，使得f（n）（ξ）=k（k≠0） 97

题型七 有关介值的不等式证明 99

题型八 隐含介值问题 100

题型九 不等式的证明 102

题型十 利用导数证明函数恒等式 113

题型十一 利用导数判别函数的单调性 114

题型十二 利用导数研究函数的极值与最值 115

题型十三 曲线的凹凸性与拐点 116

题型十四 求曲线的渐近线 117

题型十五 函数作图 118

题型十六 求曲率与曲率半径 120

题型十七 综合题 121

习题精选三 123

习题精选三参考答案 125

第四章 一元函数积分学 126

1知识要点精讲 126

2重要公式与结论 147

3典型题型与例题分析 148

题型一 计算不定积分 148

题型二 不定积分综合题 152

题型三 有关定积分的概念与性质的问题 157

题型四 利用基本方法（牛顿-莱布尼茨公式，换元积分法，分部积分法）计算定积分 159

题型五 对称区间上的积分 163

题型六 涉及变限积分的问题 164

题型七 定积分循环计算法 168

题型八 几类特殊积分问题 169

题型九 反常（广义）积分的计算 172

题型十 定积分等式的证明 176

题型十一 定积分不等式的证明 178

题型十二 定积分的几何（物理）应用 181

题型十三 综合题 186

习题精选四 192

习题精选四参考答案 193

第五章 向量代数与空间解析几何 195

1知识要点精讲及主要公式与结论 195

2典型题型与例题分析 201

题型一 与向量代数有关的计算问题 201

题型二 求平面与直线方程 201

题型三 讨论平面与直线的位置关系 204

题型四 求对称点、投影点及投影曲线 205

题型五 综合题 206

习题精选五 207

习题精选五参考答案 207

第六章 多元函数微分学 209

1知识要点精讲及主要公式与结论 209

2典型题型与例题分析 218

题型一 基本概念题 218

题型二 求复合函数的偏导数或全微分 220

题型三 求隐函数的偏导数或全微分 222

题型四 已知偏导数，反求函数关系 225

题型五 多元函数的极值和最值问题 226

题型六 求多元函数的梯度或方向导数 231

题型七 多元函数微分学的几何应用 231

题型八 综合题 233

习题精选六 235

习题精选六参考答案 236

第七章 重积分 238

1知识要点精讲 238

2重要公式与结论 245

3典型题型与例题分析 246

题型一 考查二重积分的基本概念与性质 246

题型二 二重积分的基本计算方法 247

题型三 利用重积分的对称性简化计算 249

题型四 交换积分次序 251

题型五 分区域函数的二重积分 252

题型六 反常（广义）二重积分 254

题型七 直角坐标系下计算三重积分（适用于方形区域） 255

题型八 利用“先二后一”法（适用于旋转体类型的区域） 255

题型九 利用柱面坐标（适用于区域含柱形体的情形） 256

题型十 利用球面坐标（适用于区域含球形的情形） 256

题型十一 综合题 257

习题精选七 261

习题精选七参考答案 262

第八章 曲线、曲面积分 264

1知识要点精讲 264

2重要公式与结论 272

3典型题型与例题分析 273

题型一 对弧长的曲线积分的计算方法 273

题型二 对坐标的曲线积分的计算方法 274

题型三 对面积的曲面积分的计算方法 279

题型四 对坐标的曲面积分的计算方法 281

题型五 求曲面的面积 285

题型六 求向量场的散度及旋度 287

题型七 综合题 287

习题精选八 290

习题精选八参考答案 292

第九章 无穷级数 294

1知识要点精讲 294

2重要公式与结论 302

3典型题型与例题分析 303

题型一 判定常数项级数的收敛性 303

题型二 求函数项级数的收敛域、幂级数的收敛半径和收敛区间 306

题型三 求常数项级数的和及函数项级数的和函数 307

题型四 幂级数的展开 309

题型五 傅里叶级数的展开 310

题型六 综合题 312

习题精选九 314

习题精选九参考答案 316

第十章 常微分方程 317

1知识要点精讲 317

2基本方法 327

3典型题型与例题分析 328

题型一 可化为一阶线性微分方程的求解及全微分方程求解 328

题型二 可化为变量可分离微分方程的求解 331

题型三 可降阶的高阶微分方程 332

题型四 高阶线性微分方程和可化为二阶常系数线性微分方程的求解 334

题型五 综合题与应用题 337

习题精选十 342

习题精选十参考答案 344

第二部分 线性代数 347

第一章 行列式 347

1知识要点精讲 347

2难点、疑点解析及重要公式与结论 351

3典型题型与例题分析 354

题型一 利用行列式的性质与行（列）展开定理计算行列式 354

题型二 按行（列）展开公式求代数余子式 355

题型三 利用多项式分解因式计算行列式 356

题型四 抽象行列式的计算或证明 357

题型五 n阶行列式的计算 359

题型六 利用特征值计算行列式 364

题型七 综合题 365

习题精选一 368

习题精选一参考答案 369

第二章 矩阵 370

1知识要点精讲 370

2难点、疑点解析及重要公式与结论 379

3典型题型与例题分析 382

题型一 求数值型矩阵的逆矩阵 382

题型二 A为抽象矩阵，讨论A的可逆性 385

题型三 考查矩阵运算的特殊性 386

题型四 解矩阵方程 388

题型五 求方阵A的高次幂A n 391

题型六 利用伴随矩阵A*进行计算或证明 392

题型七 有关初等矩阵的问题 394

题型八 求矩阵的秩 395

题型九 综合题 399

习题精选二 400

习题精选二参考答案 402

第三章 向量 404

1知识要点精讲 404

2难点、疑点解析及重要公式与结论 415

3典型题型与例题分析 417

题型一 判定向量组的线性相关性 417

题型二 把一个向量用一组向量线性表示 423

题型三 求向量组的秩 429

题型四 有关矩阵秩的命题 432

题型五 有关向量空间的基本概念题 433

题型六 综合题 434

习题精选三 436

习题精选三参考答案 438

第四章 线性方程组 440

1知识要点精讲 440

2难点、疑点解析及重要公式与结论 445

3典型题型与例题分析 447

题型一 基本概念题（解的判定、性质、结构） 447

题型二 含有参数的线性方程组的求解 449

题型三 抽象线性方程组求解 457

题型四 讨论两个方程组的公共解 459

题型五 讨论两个方程组解之间的关系 463

题型六 已知方程组的解，反求系数矩阵或系数矩阵中的参数 465

题型七 有关基础解系的讨论 466

题型八 有关AB=0的应用 470

题型九 综合题 471

习题精选四 478

习题精选四参考答案 480

第五章 特征值与特征向量 482

1知识要点精讲 482

2难点、疑点解析及重要公式与结论 488

3典型题型与例题分析 490

题型一 数值型矩阵特征值、特征向量的计算 490

题型二 计算抽象矩阵的特征值 492

题型三 特征值、特征向量的逆问题 496

题型四 矩形相似与对角化的讨论 500

题型五 有关实对称矩阵的命题 506

题型六 特征值、特征向量与相似矩阵的应用问题 508

题型七 有关特征值、特征向量的证明问题 513

题型八 综合题 515

习题精选五 520

习题精选五参考答案 522

第六章 二次型 525

1知识要点精讲 525

2难点、疑点解析及重要公式与结论 532

3典型题型与例题分析 533

题型一 基本概念题（二次型的矩阵、秩、正负惯性指数） 533

题型二 化二次型为标准形 534

题型三 有关正定二次型（正定矩阵）命题的证明 540

题型四 综合题 544

习题精选六 548

习题精选六参考答案 549

第三部分 概率论与数理统计 553

第一章 随机事件与概率 553

1知识要点精讲 553

2补充注释与重要结论 558

3典型题型与例题分析 561

题型一 事件的表示和运算 561

题型二 有关概率基本性质的命题 562

题型三 古典概型与几何概型的概率计算 565

题型四 事件独立性的命题 569

题型五 条件概率与积事件概率的计算 571

题型六 全概率公式和贝叶斯公式概型 575

题型七 伯努利试验 578

题型八 综合题 579

习题精选一 582

习题精选一参考答案 584

第二章 随机变量及其分布 585

1知识要点精讲 585

2补充注释与重要结论 588

3典型题型与例题分析 591

题型一 有关随机变量与分布的基本概念题 591

题型二 求随机变量的分布律与分布函数 595

题型三 已知事件发生的概率，反求事件中的未知参数 601

题型四 利用常见分布求相关事件的概率 603

题型五 求随机变量函数的分布 604

题型六 综合题 609

习题精选二 611

习题精选二参考答案 613

第三章 多维随机变量及其分布 615

1知识要点精讲 615

2补充注释与重要结论 620

3典型题型与例题分析 622

题型一 联合分布、边缘分布与条件分布的计算 622

题型二 已知部分分布律或边缘分布，求联合分布律或相关参数 630

题型三 利用已知分布求相关事件的概率 631

题型四 随机变量函数的分布 633

题型五 随机变量的独立性的讨论 640

题型六 综合题 641

习题精选三 643

习题精选三参考答案 645

第四章 随机变量的数字特征 647

1知识要点精讲 647

2补充注释与重要结论 650

3典型题型与例题分析 651

题型一 期望和方差的计算 651

题型二 随机变量函数的数学期望与方差 655

题型三 有关协方差、相关系数、独立性与相关性的命题 662

题型四 有关数字特征的应用题 667

题型五 综合题 670

习题精选四 672

习题精选四参考答案 674

第五章 大数定律和中心极限定理 675

1知识要点精讲 675

2典型题型与例题分析 677

题型一 有关切比雪夫不等式的命题 677

题型二 有关大数定律的命题 679

题型三 有关中心极限定理的命题 680

题型四 综合题 684

习题精选五 685

习题精选五参考答案 686

第六章 数理统计的基本概念 688

1知识要点精讲 688

2补充注释与重要结论 694

3典型题型与例题分析 695

题型一 求样本容量n，或与样本均值？和样本方差？有关的概率 695

题型二 求统计量的数字特征 696

题型三 求统计量的分布 699

习题精选六 701

习题精选六参考答案 702

第七章 参数估计 703

1知识要点精讲 703

2补充注释与重要结论 706

3典型题型与例题分析 707

题型一 求矩法估计和最大似然估计 707

题型二 估计量评选标准的讨论 714

题型三 参数的区间估计 718

题型四 综合题 720

习题精选七 721

习题精选七参考答案 723

第八章 假设检验 724

1知识要点精讲 724

2补充注释与重要结论 726

3典型题型与例题分析 726

题型一 正态总体未知参数的假设检验 726

题型二 有关两类错误的命题 727

习题精选八 729

习题精选八参考答案 730