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第一编 中国数学从兴起到形成一门学科——原始社会到西周时期的数学第一章 中国数学的兴起——原始社会的数学 3

第一节 图形观念的形成 3

一 图形观念的产生 3

二 从方位观念看图形观念 5

三 原始的作图工具——规矩准绳 6

第二节 数概念的形成与原始的记数方法 7

一 数概念的产生 7

二 原始的记数方法 8

第三节 传说中的数学人物 12

一 伏羲 12

二 黄帝和隶首 12

三 尧、舜、禹和倕 13

第四节 从原始社会晚期的社会结构看当时数学的发展 14

第二章 数学形成一门学科——夏、商、西周三代的数学 16

第一节 十进位值制记数法的形成 16

一 甲骨文和金文中的数字 16

二 十进位值制记数法 21

第二节 数学成为一门学科 22

一 社会管理和工作的需要与数学的发展 22

二 数学进入教学科目 24

三 商高及其所掌握的数学知识 24

第二编 中国传统数学框架的确立——春秋至东汉中期的数学 29

第三章 春秋至汉代数学概论 29

第一节 春秋战国秦汉数学与社会及文化背景 29

一 春秋战国数学与社会及文化背景 29

二 秦汉数学与社会及文化背景 30

第二节 算法式数学在春秋战国时期达到高峰 32

一 整数四则运算在春秋时期的普及 32

二 分数、比和比例的广泛使用 36

三 从先秦文献看春秋战国时代的算法化数学——“九数” 38

四 先秦时期的其他数学知识 44

第三节 理论思辨倾向——春秋战国数学的新动向 49

一 墨家与数学 50

二 名家的数学思想 59

三 先秦道家等学派的无限思想 63

四 春秋战国时期的理性思辨与数学 64

第四节 秦简《数》与汉简《算数书》 65

一 秦简《数》 65

二 《算数书》的体例、表达方式及特点 66

三 《算数书》的编纂 71

四 《算数书》的内容及其在中国数学史上的地位 72

第五节 《周髀算经》和陈子 73

一 《周髀算经》 73

二 陈子 76

第六节 《九章算术》和张苍、耿寿昌 77

一 《九章算术》的内容 77

二 《九章算术》的体例和编纂 77

三 《算数书》与《九章算术》 84

四 《九章算术》的特点与弱点及其在世界数学史上的地位 86

五 《九章算术》的版本 87

六 张苍和耿寿昌 93

第七节 其他数学家和数学著作 95

一 许商和《许商算术》、《杜忠算术》 95

二 尹咸和刘歆 95

三 张衡和马续 96

第四章 分数、率与盈不足 98

第一节 分数及其四则运算法则 98

一 分数及其表示 98

二 分数四则运算法则 99

第二节 今有术与衰分术、均输术 106

一 今有术 106

二 衰分术 108

三 均输术 111

第三节 盈不足术 112

一 盈不足诸术 113

二 盈不足术在一般数学问题中的应用 115

第五章 面积、体积、勾股与测望 119

第一节 面积 119

一 直线形面积 119

二 曲线形面积 121

三 圆方与方圆 123

四 曲面形面积 124

第二节 体积 125

一 多面体体积 125

二 圆体体积 135

第三节 勾股定理与解勾股形 137

一 勾股定理 137

二 解勾股形 138

三 勾股数组 140

第四节 勾股容方、容圆 142

一 勾股容方 142

二 勾股容圆 142

第五节 测望 142

一 一次测望 143

二 重差的萌芽 143

第六章 开方术、正负术、方程术与数列 145

第一节 开方术 145

一 开平方术 146

二 开立方术 149

第二节 方程术与正负术 151

一 方程和方程术 151

二 损益术 154

三 正负术 156

第三节 数列 160

第三编 中国传统数学理论体系的完成——东汉末至唐中叶的数学第七章 东汉末至唐中叶数学概论 165

第一节 汉末魏晋开始的社会变革与汉末至唐中叶的数学 165

一 汉末魏晋的社会变革与传统数学理论的奠基 165

二 南北朝的社会与数学 170

三 隋至唐中叶的社会与数学 171

第二节 徐岳《数术记遗》和赵爽《周髀算经注》 172

一 刘洪、徐岳与《数术记遗》 172

二 赵爽与《周髀算经注》 177

第三节 刘徽与《九章算术注》、《海岛算经》 178

一 刘徽 178

二 《九章算术注》 180

三 《海岛算经》 183

第四节 南北朝的数学著作和数学家 184

一 关于《九章算术》的研究 184

二 《孙子算经》 185

三 《夏侯阳算经》 188

四 《张丘建算经》 189

五 祖冲之、祖暅之与《缀术》 191

六 甄鸾及其数学著作 194

七 其他数学家 198

第五节 隋至唐中叶的数学著作和数学家 200

一 刘焯 200

二 王孝通与《缉古算经》 201

三 李淳风等整理十部算经 203

四 一行与《大衍历》 205

五 边冈 206

第六节 隋唐算学馆和明算科 206

一 算学馆 206

二 明算科 207

第七节 大数进法和改进计算工具的尝试 208

一 大数进法 208

二 改进计算工具的尝试 209

第八章 率与齐同原理 210

第一节 率的定义和性质 210

一 率的定义 210

二 率的求法和性质 210

第二节 今有术的推广与齐同原理 211

一 今有术的推广 211

二 齐同原理 213

第三节 算术趣题和最小公倍数 216

一 算术趣题 217

二 直接求解数学难题 218

三 最大公约数与最小公倍数的应用 219

第九章 勾股、测望和重差 220

第一节 解勾股形诸公式的证明 220

一 赵爽、刘徽对勾股定理的证明 220

二 赵爽、刘徽对解勾股形诸公式的证明 221

三 刘徽对勾股数组公式的证明 226

四 王孝通对解勾股形问题的拓展 226

第二节 勾股容方、容圆公式的证明 228

一 借助出入相补原理的证明 228

二 借助勾股相与之势不失本率原理的证明 229

第三节 重差术 230

一 重差诸术 230

二 制图六体与数学 234

第四节 其他测望问题 235

一 《张丘建算经》中的测望问题 235

二 《数术记遗注》中的测望问题 236

第十章 开方术、方程术的改进、不定问题和数列 238

第一节 开方术的几何解释和改进 238

一 刘徽关于开方术的几何解释 238

二 刘徽和王孝通关于开方式的造术 240

三 开方术的改进 242

四 刘徽“求微数”与根的近似值 245

五 祖冲之的开差幂和开差立 246

六 一行的求根公式 247

第二节 方程术的进展 247

一 刘徽的方程术理论 247

二 互乘相消法 248

三 方程新术 249

四 《孙子算经》和《张丘建算经》中的方程术 251

第三节 不定问题 253

一 五家共井 253

二 物不知数问题 254

三 百鸡术 255

第四节 等差数列和等比数列 256

一 等差数列 256

二 等比数列 258

第十一章 无穷小分割和极限思想 259

第一节 割圆术 259

第二节 刘徽原理 260

第三节 祖暅之原理与圆体体积 263

一 祖暅之原理 263

二 牟合方盖与球体积 265

第四节 极限思想在近似计算中的应用 267

一 圆周率 267

二 圆率和方率 271

三 弧田密率 271

第五节 刘徽的面积、体积的推导系统 273

一 刘徽的面积推导系统 273

二 对多面体体积公式的证明 275

三 刘徽的体积推导系统 279

第六节 刘徽的极限思想在数学史上的地位 281

一 刘徽的无穷小分割思想与先秦墨家、名家、道家 281

二 刘徽的极限和无穷小分割思想与古希腊的比较 282

第十二章 刘徽的逻辑思想和数学理论体系 284

第一节 刘徽的辞与理、类、故 284

一 理 284

二 类 285

三 故 285

第二节 定义 286

第三节 类比和归纳 287

一 类比 287

二 归纳推理 287

第四节 刘徽的演绎推理 288

一 三段论和关系推理 289

二 假言推理、选言推理、联言推理和二难推理 290

三 数学归纳法的雏形 292

第五节 数学证明 293

一 综合法 293

二 分析法与综合法相结合 294

三 反驳及刘徽的失误 294

第六节 刘徽的数学理论体系 295

第十三章 隋唐历法中的数学方法 298

第一节 隋唐历法的创造性转变 298

一 张子信的发现及其意义 298

二 隋唐历法计算结构的数学化 299

第二节 二次内插算法 300

一 《皇极历》 300

二 刘焯二次内插算法及其算理分析 301

三 唐代历法对二次内插算法的改进与发展 304

四 相减相乘法 307

第三节 隋唐历法中若干典型数学方法 309

一 刘焯《皇极历》定朔算法 309

二 李淳风《麟德历》晷影算法 313

三 一行《大衍历》的九服晷影算法 316

四 边冈《崇玄历》对黄赤道差与月亮黄纬的计算 317

第十四章 隋唐时期中国和朝鲜、日本、印度的数学交流 322

第一节 中国和朝鲜的数学交流 322

第二节 中国和日本的数学交流 324

一 中国历算传入日本 324

二 早期算学教育制度的引进 326

三 隋唐时期传入日本的中算书与日本古代算学内容的遗存 329

第三节 中国和印度的数学交流 334

一 印度数学传入中国 334

二 中国数学对印度的影响 338

第四编 中国传统数学的高潮——唐中叶至元中叶的数学 341

第十五章 唐中叶至元中叶数学概论 341

第一节 传统数学的高潮与唐中叶开始的社会变革 341

一 唐中叶开始的社会变革和数学的发展 341

二 思想宽松是数学发展的必要条件 342

三 社会需要是数学发展的强大动力 343

四 宋元统治者重视数学 344

五 宋元数学的特点 348

第二节 传本《夏侯阳算经》 351

一 传本《夏侯阳算经》的年代与内容 351

二 《夏侯阳算经》的版本 353

第三节 贾宪和《黄帝九章算经细草》 354

一 贾宪和他的老师楚衍 354

二 《黄帝九章算经细草》大部存世考 355

三 《黄帝九章算经细草》的数学成就和数学思想 357

第四节 刘益和《议古根源》 358

一 刘益 358

二 《议古根源》 358

第五节 秦九韶和《数书九章》 359

一 秦九韶的生平 360

二 秦九韶人品辨 361

三 《数书九章》 363

第六节 李冶和《测圆海镜》、《益古演段》 364

一 李冶 364

二 洞渊九容和《测圆海镜》 367

三 《益古集》和《益古演段》 370

第七节 杨辉和《详解九章算法》、《杨辉算法》 372

一 杨辉 372

二 《详解九章算法》 374

三 《日用算法》和《杨辉算法》 375

第八节 朱世杰和《算学启蒙》、《四元玉鉴》 379

一 朱世杰 379

二 《算学启蒙》 379

三 《四元玉鉴》 380

第九节 其他数学家和数学著作 382

一 李籍和《九章算术音义》、《周髀算经音义》 382

二 《谢察微算经》 384

三 沈括和《梦溪笔谈》的数学成就 384

四 王恂、郭守敬和《授时历草》 386

五 赵友钦和《革象新书》 388

六 沙克什和《河防通议·算法门》 389

七 其他数学家和数学著作 390

第十六章 计算技术的改进和珠算的发明 394

第一节 ○和十进小数 394

一 ○和数码 394

二 十进小数 396

第二节 计算技术的改进 400

一 重因法、以加减代乘除与求一法 401

二 留头乘法与九归、归除 404

第三节 珠算的产生 406

一 珠算产生诸说 406

二 珠算最迟产生于宋代 408

第十七章 勾股容圆和割圆术 409

第一节 勾股容圆 409

一 洞渊九容 409

二 圆城图式 411

三 识别杂记 412

第二节 割圆术 417

一 沈括的会圆术 417

二 《授时历》的弧矢割圆术 417

三 赵友钦的割圆术 419

第十八章 高次方程数值解法与天元术、四元术 422

第一节 高次方程数值解法 422

一 立成释锁法 422

二 贾宪三角 422

三 增乘开方法 424

四 益积术和减纵术 426

五 正负开方术 427

第二节 天元术 435

一 天元术的历史 435

二 天元术的完善和应用 444

第三节 四元术 447

一 四元术的历史发展 447

二 四元消法 448

三 二元术 449

四 三元术 451

五 四元术 454

第十九章 垛积术、招差术 457

第一节 垛积术 457

一 隙积术 457

二 垛积术 458

第二节 招差术 463

一 《授时历》的招差术 463

二 《四元玉鉴》的招差术 465

第二十章 大衍总数术与纵横图 469

第一节 大衍总数术 469

一 大衍总数术的由来 469

二 大衍总数术 470

第二节 纵横图 490

一 河图、洛书与纵横图 490

二 杨辉等的纵横图 492

三 丁易东的纵横图 496

第二十一章 唐中叶至元的中外数学交流 500

第一节 中外数学交流概况 500

一 9世纪之后伊斯兰地区的数学发展概况 500

二 宋元时期中国与伊斯兰国家的数学交流 501

第二节 中国数学的外传 503

一 中国数学对伊斯兰国家的影响 503

二 中国数学对朝鲜和日本的影响 506

第三节 伊斯兰国家数学的传入 506

一 数学著作的传入 506

二 阿拉伯数码与纵横图 507

三 土盘算法及格子算 510

第五编 传统数学主流的转变与珠算的发展——元中叶至明末数学第二十二章 元中叶至明末数学概论 513

第一节 明代数学的社会背景 513

第二节 古算著作与成果在明代的失传 515

一 《永乐大典·算》与明初朝廷收藏的数学著作 515

二 古算书的失传 517

三 数学成果的失传 518

第三节 明代数学主流的转变 520

一 明代数学著作概况 520

二 明代数学的主流及杨辉的影响 522

第二十三章 元中叶至明末的主要数学家和数学著作 525

第一节 元中后期的数学家和数学著作 525

一 《透帘细草》 525

二 丁巨及其《丁巨算法》 526

三 贾亨的《算法全能集》 528

四 《详明算法》 529

第二节 明初的数学家和数学著作 530

一 严恭及其《通原算法》 530

二 刘仕隆及其《九章通明算法》 531

三 夏源泽的《指明算法》 533

四 其他算书 533

第三节 筹珠并用的数学家和数学著作 534

一 吴敬及其《九章算法比类大全》 534

二 王文素及其《算学宝鉴》 536

三 其他算书 540

第四节 理论数学研究的余绪 542

一 唐顺之及其《数论》六篇 542

二 顾应祥及其四部数学著作 543

三 周述学及其《历宗算会》 547

四 朱载堉及其《算学新说》和《嘉量算经》 550

第五节 珠算数学家和数学著作 552

一 《算法统宗》以前的珠算著作 552

二 程大位及其《算法统宗》和《算法纂要》 558

三 其他珠算著作 561

第二十四章 数学的歌诀化与珠算的普及 562

第一节 数学的实用化与歌诀化 562

一 数学的实用化、大众化与商业化 562

二 数学的歌诀化 563

三 元末以来的数学歌诀化算题 564

第二节 明代数学中的各种“杂法” 566

第三节 珠算的发展与普及 568

一 元明时代几项珠算史料所反映的情况 568

二 数学著作中对珠算的反映 569

三 珠算的普及与筹算的消失 570

第二十五章 明代的若干数学工作 573

第一节 开方及方程的数值解法 573

一 元中后期的增乘开方法 573

二 《通原算法》的开方法 574

三 吴敬、王文素等的开方法 575

四 珠算开方法 577

五 开带从方法 578

第二节 一次同余方程组与不定方程 580

一 一次同余方程组的解法 580

二 不定方程问题 584

第三节 勾股术、测圆术与弧矢术 587

一 勾股术 587

二 测圆术 589

三 弧矢术 590

第四节 纵横图 593

第五节 九进位制与十进位制的小数换算 598

第二十六章 中国数学在朝鲜和日本的传播与影响 600

第一节 中国数学外传朝鲜半岛及其影响 600

一 中国数学在李氏朝鲜初期的流传与影响 600

二 17世纪朝鲜对中国历算著作的引进 601

三 宋元明数学著作的流传与影响 602

第二节 中国数学在日本的传播与影响 605

一 珠算与明代数学著作在日本的传播 605

二 宋元数学著作在日本的传播 607

三 宋元明著作对日本数学的影响 608

第三节 其他交流 609

第六编 西方数学的传入与中西数学的会通——明末至清末的数学第二十七章 明末清初西方数学的传入与清初的研究 613

第一节 明末西方数学的传入 613

一 西方数学著作的编译 613

二 《崇祯历书》中的数学 618

第二节 王锡阐与薛凤祚的数学工作 621

一 王锡阐及其《圜解》 621

二 薛凤祚及其《比例对数表》等著作 624

第三节 梅文鼎及其数学研究 627

一 梅文鼎 627

二 数学著作的内容概述 627

三 立体几何与球面三角方面的创见 631

第四节 其他数学家的工作 637

一 方中通及其《数度衍》 637

二 李子金的数学工作 640

三 陈厚耀对排列组合的研究 641

四 陈世仁及其《少广补遗》 643

第二十八章 清初西方数学的传入 647

第一节 康熙帝与西方数学的再次传入 647

一 康熙的数学学习 647

二 安多和《算法纂要总纲》的编纂 649

第二节 《数理精蕴》 655

一 蒙养斋算学馆与《数理精蕴》的编纂 655

二 《数理精蕴》的内容及其西方数学来源 658

三 《数理精蕴》的影响 667

第三节 西学中源说与康熙的数学地位 668

一 借根方即天元术说 668

二 康熙与符号代数传入的失败 669

三 “西学中源”说及康熙的数学地位 670

第四节 康熙雍正时代传入的其他西方数学 671

一 对数表的传入 671

二 杜德美与杜氏三术 672

三 年希尧《视学》与Pozzo原著的关系 673

第二十九章 清中叶传统数学著作的整理和研究 675

第一节 清中叶数学概述 675

一 中国传统数学的复兴 675

二 西方数学的研究与中、西数学知识的互动 676

第二节 传统数学著作的整理和校勘 678

一 戴震与《四库全书》、《武英殿聚珍版丛书》中所收算书 678

二 清中叶对汉唐算经的校勘与研究 682

三 宋元数学书的传刻与研究 684

四 《畴人传》及其续编 688

第三节 传统数学的研究与发展 692

一 谈天三友和其他数学家 692

二 方程论研究 694

三 其他研究工作 706

第三十章 幂级数展开式的研究 729

第一节 明安图及其《割圜密率捷法》 729

一 明安图 729

二 《割圜密率捷法》 730

第二节 董祐诚、项名达、戴煦等的工作 731

一 董祐诚及其《割圜连比例术图解》 731

二 项名达及其《象数一原》 733

三 戴煦及其《求表捷术》 735

第三节 李善兰及其尖锥术 738

一 李善兰 738

二 尖锥术 739

第四节 徐有壬、顾观光、邹伯奇等的研究工作 748

一 徐有壬及其《割圆八线缀术》 748

二 顾观光、邹伯奇的研究工作 750

第三十一章 清末西方数学的传入 753

第一节 清末西方数学传入概况 753

一 李善兰的数学翻译工作 753

二 华蘅芳及其数学翻译研究 754

第二节 几何、代数和三角学著作的翻译 757

一 《几何原本》 757

二 《代数学》和《代数术》 757

三 《三角数理》及其他 758

第三节 微积分和概率论著作的翻译 759

一 《代微积拾级》 759

二 《微积溯源》 760

三 其他有关微积分的著作 760

四 《决疑数学》 761

第三十二章 清末数学研究 763

第一节 夏鸾翔、白芙堂诸子和其他数学家 763

一 夏鸾翔及其数学著作 763

二 白芙堂诸子及其数学著作 764

三 刘彝程及其数学著作 767

四 陈志坚、周达及其数学著作 769

第二节 数论的研究 771

一 素数的研究 771

二 整数勾股形的研究 772

三 百鸡术和大衍总数术的研究 775

第三节 垛积术与招差术的研究 781

一 李善兰的垛积术 781

二 夏鸾翔的垛积招差研究 785

三 刘彝程的垛积术研究 789

第四节 开方术的研究 792

一 夏鸾翔对开方术的研究 792

二 华蘅芳的数根开方术与积较开方术 794

第五节 对圆锥曲线和微积分的研究 798

一 圆锥曲线作图 799

二 二次曲线求积问题 800

三 平圆容切与累圆 810

第三十三章 清末数学教育 817

第一节 清末数学教育概述 817

一 数学教育的变革 817

二 清末的数学教育观念 821

三 清末的留学活动与数学留学生 822

第二节 晚清数学教育 824

一 洋务学堂的数学教育 824

二 书院的变革与数学教育 831

三 教会学校的数学教科书 833

四 癸卯学制的数学课程 834

第三节 数学丛书、数学社团与刊物 836

一 数学丛书的编纂 836

二 数学社团 837

三 数学刊物 839

主要参考文献 843

后记 854

总跋 857