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第1章　复变函数 1

1.1　复数的概念 1

1.2　复数的几何表示法 2

1.3　复数的运算 5

1.4　复变函数 8

1.5　复变函数的极限 13

1.6　复变函数的连续 13

习题 14

第2章　解析函数 16

2.1　复变函数的导数 16

2.2　柯西-黎曼条件 17

2.3　解析函数 21

2.4　解析函数与调和函数的关系 23

2.5　初等解析函数 26

2.6　解析函数的应用——平面场的复势 31

习题 36

第3章　复变函数的积分 39

3.1　基本概念 39

3.2　复变函数和积分 40

3.3　柯西定理 42

3.4　柯西积分公式 45

3.5　柯西积分公式的几个推论 49

习题 52

第4章　解析函数的幂级数表示法 55

4.1　复数项级数 55

4.2　复变函数项级数 57

4.3　幂级数 62

4.4　解析函数的幂级数展开 65

4.5　解析函数的孤立奇点 76

4.6　解析函数在无穷远点的性质 80

4.7　解析开拓 82

4.8　应用 83

习题 86

第5章　留数理论及其应用 89

5.1　留数的基本理论 89

5.2　用留数定理计算实积分 95

5.3　对数留数和辐角原理 107

习题 110

第6章　广义函数 113

6.1　δ函数 113

6.2　广义函数的引入 114

6.3　广义函数的基本运算 121

6.4　广义函数的傅里叶变换 123

6.5　广义解 127

习题 127

第7章　完备正交函数系展开法 129

7.1　正交性 129

7.2　零函数 130

7.3　完备性 131

7.4　推广 135

第8章　斯特姆-刘维本征值问题 137

8.1　本征值问题的提法 137

8.2　本征值问题的主要结论 139

8.3　其他型的本征值问题 149

第9章　傅里叶级数和傅里叶变换 151

9.1　周期函数和傅里叶级数 151

9.2　完备正交函数系 153

9.3　傅里叶级数的性质 156

9.4　傅里叶级数的应用 163

9.5　有限区间上的函数的傅里叶级数 166

9.6　复指数形式的傅里叶级数 168

9.7　傅里叶展开与罗朗展开的联系 169

9.8　傅里叶积分与变换 170

9.9　傅里叶变换的性质 173

9.10　小波变换的引荐 181

9.11　三种定义式 185

习题 186

第10章　拉普拉斯变换 189

10.1　拉普拉斯变换的概念 189

10.2　基本函数的拉氏变换 191

10.3　拉氏变换的性质 192

10.4　拉普拉斯逆变换 199

10.5　应用 207

习题 212

第11章　二阶线性常微分方程的级数解法 214

11.1　常点邻域的级数解法 214

11.2　正则奇点邻域的级数解法 217

11.3　求第二个解的方法 222

11.4　非正则奇点邻域的渐近解 229

11.5　渐近展开和最陡下降法 230

习题 235

第12章　数学模型——定解问题 236

12.1　引言 236

12.2　数学模型的建立 237

12.3　定解条件 247

12.4　定解问题 254

12.5　求解途径 255

习题 256

第13章　二阶线性偏微分方程的分类 257

13.1　基本概念 257

13.2　二阶线性偏微分方程的分类及标准化 258

13.3　二阶线性常系数偏微分方程的进一步化简 262

13.4　三类方程的物理内涵 264

13.5　二阶线性偏微分方程的特征 266

习题 266

第14章　行波法 268

14.1　通解 268

14.2　行波解 270

14.3　达朗贝尔公式 272

14.4　半无限长弦的自由振动 278

14.5　两端固定的弦的自由振动 281

14.6　齐次化原理（Duhamel原理） 283

14.7　非线性偏微分方程 284

习题 285

第15章　分离变量法 288

15.1　分离变量 288

15.2　直角坐标系中的分离变量法 290

15.3　圆柱坐标系中的分离变量法 312

15.4　球坐标系中的分离变量法 319

习题 325

第16章　勒让德函数 329

16.1　勒让德多项式的定义及表示 329

16.2　勒让德多项式的性质 331

16.3　第二类勒让德函数Ql（x） 338

16.4　勒让德方程的本征值问题 339

16.5　连带勒让德方程及其解 340

16.6　球谐函数 344

16.7　应用 348

习题 354

第17章　贝塞尔函数 356

17.1　贝塞尔方程及其解 356

17.2　整数阶（第一类）贝塞尔函数 360

17.3　修正贝塞尔方程及其解 370

17.4　球贝塞尔方程及球贝塞尔函数 373

17.5　广义贝塞尔函数 379

17.6　应用 379

习题 392

第18章　积分变换法 394

18.1　傅里叶变换 394

18.2　拉普拉斯变换 399

18.3　傅氏正弦变换 405

18.4　傅氏余弦变换 406

18.5　汉克尔变换 407

18.6　应用于有界区域的问题 410

习题 412

第19章　变分法 414

19.1　基本概念 414

19.2　泛函的极值 415

19.3　泛函极值与数学物理问题的关系 419

19.4　求泛函极值的直接方法——里茨法 422

习题 423

第20章　格林函数法 425

20.1　格林公式 425

20.2　稳态边值问题的格林函数法 425

20.3　热传导问题的格林函数法 430

20.4　波动问题的格林函数法 432

20.5　格林函数的确定 434

20.6　应用 443

习题 449

第21章　保角变换法 451

21.1　保角变换及其基本问题 451

21.2　常用的几种保角变换 456

21.3　多角形的变换 466

21.4　应用 473

习题 480

参考文献 482