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第1章 绪论 1

1.1从放射性衰变谈起 1

1.1.1放射性衰变 1

1.1.2碳14同位素断代法 2

1.2微分方程及其解的概念 4

1.2.1微分方程及其分类 4

1.2.2方程的解 5

1.3一阶微分方程及其解的几何解释 8

1.3.1方向场 8

1.3.2图像法 9

1.4常微分方程的发展简史 13

第2章 一阶方程的初等积分法 16

2.1变量可分离方程 16

2.2一阶线性方程 20

2.3初等变换法 24

2.3.1齐次方程 24

2.3.2准齐次方程 27

2.3.3 Bernoul方程 28

2.3.4 Riccati方程 29

2.4全微分方程 32

2.4.1全微分方程的概念及通积分形式 32

2.4.2全微分方程的判别及求解方法 33

2.5积分因子法 36

2.6一阶隐方程 41

2.6.1可解出y或x的方程与微分法 41

2.6.2不显含x或y的方程与参数法 45

2.6.3一般的一阶隐式方程 47

2.7应用举例 48

第3章 一阶方程的一般理论 60

3.1 Picard逐次逼近法 61

3.2解的存在与唯一性定理 63

3.2.1Picard定理 63

3.2.2近似计算和误差估计 68

3.2.3Peano存在定理 69

3.3解的延伸 74

3.3.1解的延伸定理 74

3.3.2比较定理 80

3.4解对初值的连续性和可微性 85

3.4.1解对初值的连续依赖性 85

3.4.2解对初值的可微性 87

3.5奇解 90

3.5.1奇解 90

3.5.2包络 93

3.6数值解法 98

3.6.1Euler方法 98

3.6.2Runge-Kutta方法 100

第4章高阶微分方程 105

4.1预备知识 105

4.2降阶法 107

4.3齐次线性方程 113

4.3.1齐次线性方程的一般理论 114

4.3.2解与系数的关系 119

4.4常系数齐次线性方程的解法 122

4.5某些变系数齐次线性方程的解法 129

4.5.1化为常系数法 129

4.5.2降阶法 133

4.6非齐次线性方程 137

4.6.1非齐次线性方程的一般理论 137

4.6.2常系数非齐次线性方程的解法 141

4.7二阶线性方程的幂级数解法 146

4.7.1解法的基本思路与过程 147

4.7.2常点幂级数解 150

4.7.3正则奇点广义幂级数解 153

4.8二阶齐次线性方程的解的振动 161

4.8.1零点的孤立性 162

4.8.2Sturm比较定理 162

4.8.3振动解与非振动解的判别 164

4.8.4解的零点间的距离的估计 165

4.9Sturm-Liouville边值问题 166

4.9.1预备知识 166

4.9.2Sturm-Liouville特征值问题 168

4.10应用举例 171

第5章微分方程组 179

5.1预备知识 179

5.1.1引例 179

5.1.2微分方程组及其解的概念 181

5.1.3高阶微分方程（组）与一阶微分方程组的关系 183

5.1.4向量函数与矩阵函数 185

5.1.5微分方程组的向量形式 187

5.2解的存在唯一性定理 188

5.3初等积分法 189

5.3.1消元法 190

5.3.2可积组合法 192

5.4齐次线性微分方程组的一般理论 199

5.4.1解的性质与结构 200

5.4.2解与系数的关系 204

5.4.3基解矩阵 205

5.5常系数齐次线性微分方程组的解法 208

5.5.1矩阵指数的定义和性质 208

5.5.2标准基解矩阵eAx 209

5.5.3待定系数法计算基解矩阵exAP 213

5.6非齐次线性微分方程组 222

5.6.1解的性质与结构 222

5.6.2常数变易法求特解 223

5.7应用举例 225

第6章微分方程的定性理论 230

6.1自治系统 231

6.1.1动力系统相空间与轨线 231

6.1.2自治系统的基本性质 233

6.1.3自治系统轨线的类型 235

6.2解的稳定性 238

6.2.1Lyapunov稳定性的概念 238

6.2.2按一次近似判断稳定性 240

6.2.3Lyapunov第二方法 246

6.3平面自治系统的奇点 254

6.3.1线性系统的奇点 254

6.3.2非线性系统的奇点 266

6.4极限环 270

6.4.1极限环的存在性判断方法 270

6.4.2Poincare映射与后继函数法 275

6.5分支与混沌 277

6.5.1分支 277

6.5.2Lorenz方程与混沌 283

6.6应用举例 286

6.6.1两种群模型 287

6.6.2vanderPol方程 295

第7章Maple在常微分方程中的应用 301

7.1初识Maple 301

7.2Maple在一阶微分方程中的应用 302

7.2.1一阶微分方程的求解及积分曲线的画法 302

7.2.2微分方程类型的判定 304

7.2.3积分因子的求法 306

7.2.4一阶隐方程的求解 306

7.2.5数值解法 307

7.2.6方向场 308

7.2.7正交轨线 310

7.3Maple应用于解高阶方程和方程组 311

7.3.1用Maple解高阶线性方程 311

7.3.2高阶线性方程的幂级数解法 314

7.3.3用Maple解方程组 315

参考答案 319

参考文献 329