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第1章 张量分析及其物理意义 1

1.1概念与背景 1

1.1.1动机与背景介绍 1

1.1.2 Descartes张量 3

1.1.3 к重线性函数方式的张量等价定义 5

1.1.4物理中二阶张量的例子 7

1.1.5张量不变量与定律的协变性 9

1.2基本性质 11

1.2.1张量代数运算 11

1.2.2对称与反对称张量 13

1.2.3反对称张量的外积运算 14

1.2.4张量的判别准则 15

1.2.5各向同性张量 17

1.2.6二阶张量特性 19

1.3张量场及其微分运算 22

1.3.1张量场 22

1.3.2张量场的不变函数与偏微分方程协变性 24

1.3.3微分形式与反对称张量场 27

1.3.4梯度算子及物理作用 29

1.3.5散度及其物理意义 34

1.3.6向量场旋度与Stokes公式 39

1.3.7电磁场的Maxwell方程 42

1.4张量分析在流体动力学中应用 46

1.4.1形变速度张量 46

1.4.2流体运动方程 48

1.4.3本构方程 49

1.4.4 Navier-Stokes方程 51

1.5变换群表示下的张量 52

1.5.1变换群观念的张量 52

1.5.2群表示张量的不变量 53

1.5.3反演变换及赝张量 56

1.5.4 SO（3）群的双值表示及旋量 57

1.5.5旋量的物理解说 61

1.5.6旋量Bose-Einstein凝聚方程的协变性 64

1.6评注 71

第2章 弯曲空间的数学理论——Riemann几何 74

2.1几何与物理关系概论 74

2.1.1宇宙背景空间与几何学 74

2.1.2微分流形——弯曲空间的数学抽象 78

2.1.3物理向量场与切空间 80

2.1.4定律协变性背景下的流形张量场 82

2.1.5流形上协变微分与联络 84

2.1.6张量不变量的物理意义 88

2.2流形上的向量场 90

2.2.1向量场流的概念 90

2.2.2 Frobenius定理——向量场编织流形的充要条件 92

2.2.3带边流形向量场指标与边界环绕数公式 96

2.2.4切球丛截面特征数 102

2.2.5余切场及余切球丛上指标理论 106

2.2.6由球丛截面特征数看指标公式 110

2.2.7环绕数公式在流体动力学中应用 113

2.3 Riemann几何基础 115

2.3.1内蕴几何的自然观点 115

2.3.2 Riemann度量产生的初等几何 117

2.3.3度量空间等距类 120

2.3.4短程线诱导的协变导数 124

2.3.5测地坐标系 127

2.3.6曲率张量 128

2.4 Riemann流形上微分形式 132

2.4.1流形上微分形式 132

2.4.2微分形式的积分与Stokes公式 134

2.4.3 Allendoerfer-Fenchel微分形式 137

2.4.4 Ωк （M）中的内积结构 138

2.4.5 Laplace-Beltrami算子 141

2.4.6 Hodge分解定理 143

2.5评注 146

第3章 整体微分几何理论 149

3.1流形共轭结构理论概述 149

3.1.1共轭元及其指标概念 149

3.1.2同调群及其几何化定理 153

3.1.3共轭对称性定理 155

3.1.4 de Rham上同调的几何表示 157

3.1.5微分形式的谱级数展开 160

3.2 Riemann度量对角化理论 162

3.2.1度量对角化充要条件 162

3.2.2对角化度量的联络与曲率张量 167

3.2.3向量场和余切向量场的△算子 170

3.2.4 Weitzenbock公式 175

3.2.5 Lipschitz-Killing曲率 180

3.3 2n维带边流形上广义Gauss-Bonnet公式 183

3.3.1概况性介绍 183

3.3.2微分形式观念的仿射联络与曲率 184

3.3.3联络流形上一般标架场的结构方程 191

3.3.4 Riemann流形上正交标架场的结构方程 193

3.3.5二维Gauss-Bonnet （GB）公式 195

3.3.6陈省身微分形式 199

3.3.7广义GB公式 202

3.3.8各类指标公式的流形可加性与边界性质 205

3.4评注 206

第4章 物理背景下的几何分析 208

4.1流形上的分析框架 208

4.1.1向量丛与截面 208

4.1.2关于截面的Sobolev空间 210

4.1.3 Sobolev嵌入定理及其实质 214

4.1.4 Rellich-Kondrachov紧嵌入 217

4.2向量丛上的微分算子 220

4.2.1基本概念 220

4.2.2椭圆微分算子 222

4.2.3截面的梯度与散度 225

4.2.4向量场的Helmholtz分解 229

4.2.5内积丛截面的正交分解 233

4.2.6相对论引力效应的Navier-Stokes算子 235

4.3 Riemann度量泛函变分原理 240

4.3.1物理背景 240

4.3.2度量泛函变分学的基本框架 242

4.3.3零散度变分的标量势定理 245

4.3.4 Einstein-Hilbert泛函 249

4.3.5度量张量的Einstein场方程 251

4.3.6对角化度量的变分问题 254

4.3.7度量能量的Hamilton系统 256

4.4评注 258

第5章 物理学基本原理 262

5.1相对性原理 262

5.1.1 Newton绝对时空观念 262

5.1.2 Galileo不变性与Lorentz变换 263

5.1.3 Einstein相对性原理 265

5.1.4相对论力学 266

5.2相对论物理学 269

5.2.1 Minkowski四维空间 269

5.2.2 Lorentz张量 273

5.2.3四维动质能向量以及三角关系式 276

5.2.4 Lorentz电磁场张量与相对论不变量 280

5.2.5电动力学方程的协变性 282

5.2.6相对论量子力学方程 284

5.2.7 Lorentz群旋量表示及Dirac方程协变性 287

5.3 Lagrange动力学原理 292

5.3.1引言 292

5.3.2相对论力学最小作用原理 294

5.3.3电动力学的作用量 297

5.3.4量子物理中的Lagrange密度 301

5.3.5对称性与守恒量对应的Noether定理 303

5.4 Hamilton动力学原理 305

5.4.1能量守恒系统的动力学 305

5.4.2电磁场的能量密度 308

5.4.3量子Hamilton系统 309

5.4.4旋量BEC方程 314

5.5评注 317

第6章 广义相对论与引力场 319

6.1相对论引力场理论 319

6.1.1等效原理 319

6.1.2广义相对性原理 320

6.1.3 Lagrange动力学原理的引力场方程 322

6.1.4引力场方程非变分原理的推导 323

6.1.5引力场中的电动力学方程 327

6.1.6能量动量张量表达公式 328

6.2考虑暗能量效应的引力场方程 330

6.2.1宇宙中的暗能量 330

6.2.2带标量势的引力场方程 332

6.2.3修正场方程的点源引力场理论 333

6.2.4球对称场的引力势 336

6.2.5真空场的Schwarzschild解 340

6.3广义相对论的验证 342

6.3.1球对称场中的运动守恒量 342

6.3.2 Schwarzschild场中的运动方程 344

6.3.3水星近日点进动 346

6.3.4光线在引力场的偏转 350

6.3.5光的引力红移 352

6.4黑洞 354

6.4.1 Schwarzschild半径 354

6.4.2黑洞形成的物理条件 356

6.4.3星体的密度极限 360

6.4.4黑洞的探测 363

6.5评注 363

第7章 宇宙学 366

7.1宇宙的构成 366

7.1.1恒星分布的HR图 366

7.1.2星团 368

7.1.3星系与银河系 370

7.1.4星系团和巨洞 372

7.1.5暗物质与暗能量 375

7.2大爆炸理论 376

7.2.1 Hubble定律 376

7.2.2宇宙的膨胀 378

7.2.3宇宙起源的大爆炸 380

7.2.4微波背景辐射 383

7.2.5氦元素的丰度 387

7.3宇宙的演化 389

7.3.1宇宙学原理 389

7.3.2 Newton引力的宇宙动力学 392

7.3.3 Friedmann模型 395

7.3.4 Lemaitre的A方程 400

7.3.5带标量势的宇宙学理论 402

7.4暗物质暗能量的统一理论 404

7.4.1框架性介绍 404

7.4.2球对称引力场方程 406

7.4.3相容性问题 408

7.4.4标量势能与引力相互作用公式 409

7.4.5简化的引力公式 411

7.4.6非均匀性的效应 412

7.4.7暗物质与暗能量机理 414

7.4.8总结性结论 417

7.5评注 419

参考文献 421