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第1章 整数与同余 1

1.1　整数 1

1.1.1 整数的定义 1

1.1.2 整除 2

1.2　整数的进位制表示法 3

1.2.1 带余除法 3

1.2.2 整数的二进制表示法 5

1.2.3　数制转换 6

1.3　整数分解 8

1.3.1 最大公因数 8

1.3.2 欧几里得算法 10

1.3.3 因式分解法 13

1.3.4　标准分解式 17

1.4 同余 18

1.4.1 同余的概念 18

1.4.2 线性同余式 23

1.4.3 中国剩余定理 26

1.4.4 威尔逊定理、费马小定理与欧拉定理 27

习题 31

第2章　数论函数 34

2.1　积性函数 34

2.1.1 积性函数的定义 34

2.1.2 除数函数 35

2.2　高斯函数［x］ 37

2.2.1 高斯函数［x］的性质 37

2.2.2 n！的标准分解式 39

2.3　欧拉函数φ（x） 41

2.4　默比乌斯函数 43

2.4.1 默比乌斯函数的概念 43

2.4.2 默比乌斯反演公式 45

2.5　完全数 46

2.5.1 完全数的概念 46

2.5.2　梅森数、费马数 47

习题 50

第3章　二次剩余 52

3.1　二次剩余的概念 52

3.2　勒让德符号 54

3.3　高斯二次互反律 57

3.4　雅可比符号 58

3.5　二次同余式的解法和解数 63

习题 68

第4章　原根和指数 69

4.1　原根 69

4.1.1　整数的阶 69

4.1.2 原根的概念 72

4.1.3 原根的存在性 73

4.1.4　原根的求法 81

4.2　指数 81

4.2.1　指数的性质 82

4.2.2 指数表 83

习题 85

第5章　有限域的概念 87

5.1　群 88

5.1.1 群的概念 88

5.1.2 子群、陪集与拉格朗日定理 90

5.2　环 93

5.2.1 环的定义 93

5.2.2 多项式环 96

5.3　整环中的因子分解 99

5.3.1　一些基本概念 99

5.3.2　唯一分解整环 102

5.4　由整环构造域 106

习题 111

第6章　有限域的抽象性质 113

6.1　有限域的加法结构 113

6.2　有限域的乘法结构 114

6.2.1　元素的阶 114

6.2.2 本原元 118

6.2.3 最小多项式与本原多项式 123

习题 129

第7章　数论与有限域的应用 131

7.1　同余式的简单应用 131

7.1.1 正整数能否被除尽 131

7.1.2 弃九法 132

7.1.3 计算星期几 134

7.1.4 循环赛 137

7.2　二次剩余的应用 139

7.2.1 Blum通信游戏 139

7.2.2　欧拉伪素数 139

7.3　信息加密 140

7.3.1 文件集合的加密 140

7.3.2 RSA公钥密码体制 141

7.4　正交拉丁方 142

7.5 阿达玛阵 145

7.6　纠错码 149

7.6.1 循环码 150

7.6.2　循环冗余校验码 153

习题 155

参考文献 157