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引言 1

0.1高等代数的研究对象 1

0.2按照数学的思维方式学习数学 4

0.3映射的乘法，可逆映射 5

小窗口 关于无限集的基数 10

第一章 线性方程组的解法 11

1.1高斯消元法 11

1.2线性方程组解的情况及其判定 18

1.3数域 24

补充题一 25

第二章 行列式 27

2.1 n元排列 28

2.2 n阶行列式的定义 30

2.3行列式的性质 34

2.4行列式按一行（列）展开 40

2.5克拉默（Cramer）法则，行列式的几何意义 48

2.6行列式按k行（列）展开 50

补充题二 54

第三章 线性空间 55

3.1线性空间的定义和性质 56

3.2线性子空间 60

3.3线性相关与线性无关的向量组 64

3.4极大线性无关组，向量组的秩 74

3.5基，维数 79

3.6矩阵的秩 86

3.7线性方程组有解判别准则 93

3.8齐次（非齐次）线性方程组解集的结构 95

3.9子空间的交与和，子空间的直和 106

3.10集合的划分，等价关系 118

3.11线性空间的同构 122

3.12商空间 126

补充题三 131

第四章 矩阵的运算 132

4.1矩阵的加法，数量乘法与乘法运算 132

4.2矩阵乘积的秩，坐标变换公式 142

4.3 Ms×n（K）的基和维数，特殊矩阵 145

4.4可逆矩阵 158

4.5 n级矩阵乘积的行列式 168

4.6矩阵的分块 170

4.7 Binet-Cauchy公式 178

4.8矩阵的相抵，矩阵的广义逆 184

补充题四 190

第五章 一元多项式环 192

5.1一元多项式环的概念及其通用性质 192

5.2带余除法，整除关系 203

5.3最大公因式，互素的多项式 208

5.4不可约多项式，唯一因式分解定理 219

5.5重因式 224

5.6多项式的根，多项式函数，复数域上的不可约多项式 226

阅读材料1拉格朗日（Lagrange）插值公式 233

5.7实数域上的不可约多项式 235

5.8有理数域上的不可约多项式 237

5.9模m剩余类环，域，域的特征 246

阅读材料2一元分式域 254

补充题五 256

第六章 线性映射 260

6.1线性映射的定义和性质 261

6.2线性映射的运算 265

6.3线性映射的核与像 273

6.4线性变换和线性映射的矩阵 280

6.5线性变换在不同基下的矩阵之间的关系，相似的矩阵 290

6.6线性变换与矩阵的特征值和特征向量 296

6.7线性变换与矩阵可对角化的充分必要条件 308

6.8线性变换的不变子空间，Hamilton-Cayley定理 320

6.9线性变换与矩阵的最小多项式 330

6.10幂零变换的Jordan标准形 346

6.11线性变换的Jordan标准形 351

阅读材料3 矩阵相似的完全不变量 360

6.12线性变换的有理标准形 371

阅读材料4矩阵相似的完全不变量（续） 389

6.13线性函数，对偶空间 392

补充题六 398

第七章 双线性函数，二次型 401

7.1双线性函数的表达式和性质 402

7.2对称和斜对称双线性函数 409

7.3双线性函数空间，Witt消去定理 419

阅读材料5双线性函数的秩 430

7.4二次型和它的标准形 434

7.5实（复）二次型的规范形 444

7.6实（复）正定二次型，正定矩阵 449

补充题七 455

第八章 具有度量的线性空间 457

8.1实线性空间的内积，实内积空间的度量概念 457

8.2标准正交基，正交矩阵 462

8.3正交补，实内积空间的保距同构 470

8.4正交变换 479

8.5对称变换，实对称矩阵的对角化 484

阅读材料6二次曲线的类型，二次曲线的不变量 493

阅读材料7二次曲面的类型 506

8.6酉空间 509

8.7酉变换，Hermite变换，Hermite型 518

8.8线性变换的伴随变换，正规变换 524

8.9正交空间与辛空间 531

补充题八 544

第九章n元多项式环 546

9.1n元多项式环的概念和通用性质 546

9.2对称多项式，数域K上一元多项式的判别式 557

9.3结式 568

参考文献 583