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第一章 绪论 1

第一节 数值分析的研究对象与特点 1

第二节 数值计算的误差 1

一、误差的来源与分类 1

二、绝对误差与相对误差 2

三、有效数字（SignificantFigure） 3

四、基本运算中的误差估计 3

一、病态问题与条件数 4

第三节 误差定性分析与避免误差危害 4

二、算法的数值稳定性 5

三、避免误差危害的若干原则 6

第四节 Mathematica简介 8

一、Mathematica中的基本量 8

二、在Mathematica中作图 12

三、初等代数运算 14

四、微积分 16

五、线性代数 18

六、数值计算方法 19

评主 22

习题一 23

第二章 插值与拟合 24

第一节 插值问题与插值多项式 24

一、插值问题的提法 24

二、插值多项式的存在唯一性 24

第二节 拉格朗日（Lagrange）插值 25

一、线性插值与二次插值 25

三、Lagrange插值余项与误差估计 26

二、Lagrange插值多项式 26

第三节 均差与Newton插值 32

一、均差（DividedDifference）及其性质 32

二、Newton插值多项式 34

第四节 差分及其性质 35

一、差分的定义 35

二、差分的性质 36

三、等距节点插值公式 37

一、Runge现象 40

第五节 分段低次插值 40

二、分段线性插值 41

第六节 三次样条插值 42

一、三次样条插值的概念 42

二、样条插值函数的建立 43

三、误差估计及收敛性 46

一、曲线拟合的一般提法 47

二、拟合多项式 47

第七节 曲线拟合的最小二乘法 47

三、线性最小二乘法的一般形式 52

第八节 正交多项式 54

一、内积及其性质 54

二、正交函数系及正交多项式族的构造 55

三、常用的正交多项式 57

综合实习题 60

评注 63

习题二 63

一、线性方程组及其一般解法 66

第一节 矩阵基础知识 66

第三章 线性方程组的解法 66

二、矩阵特征值和谱半径 68

三、常用矩阵及其性质 69

第二节 高斯（Gauss）消元法 70

一、Gauss顺序消元法 70

二、主元素Gauss消元法 73

第三节 直接三角分解法 74

一、Doolittle分解法 74

二、追赶法 78

三、Cholesky分解与平方根法 79

第四节 向量范数和矩阵范数 81

一、内积与向量范数 81

二、矩阵范数 82

第五节 误差分析与病态方程组 84

一、方程组的状态与条件数（ConditionNumber） 84

二、条件数的性质 85

三、病态方程组的解法 87

一、迭代法的基本思想 88

第六节 迭代法及其收敛性 88

二、向量序列与矩阵序列的收敛性 90

三、迭代法的收敛条件 91

四、迭代法的误差估计（ErrorEstimate） 91

第七节 Jacobi迭代法与Gauss迭代法 92

一、雅可比（Jacobi）迭代法 92

二、高斯—塞德尔（Gauss-Seidel）迭代法 95

三、松弛法 97

四、Gauss-Seidel迭代法、Jacobi迭代法和SOR迭代法的收敛性 99

综合实习题 101

评注 104

习题三 105

第四章 数值微积分 107

第一节 数值微分 107

一、差商型数值微分 107

二、插值型数值微分 108

二、求积公式的代数精度 110

一、插值型求积公式 110

第二节 数值积分 110

三、求积公式的收敛性与稳定性 112

第三节 梯形公式与辛普森公式 112

一、牛顿一柯特斯（Newton-Cotes）公式 112

二、复化梯形公式和复化辛普森公式 116

第四节 外推原理与龙贝格公式 118

一、复化梯形公式递推化与节点加密 118

二、外推法龙贝格求积公式 119

二、高斯—勒让德（Gauss-Legendre）求积公式 122

第五节 高斯（Gauss）型求积公式 122

一、最高代数精度求积公式 122

三、高斯—切比雪夫（Gauss-Chebyshev）求积公式 124

第六节 重积分的数值计算 124

综合实习题 126

评注 128

习题四 129

第一节 方程求根与二分法 131

一、引言 131

第五章 非线性方程的数值解法 131

二、二分法 132

第二节 迭代法及其收敛性 133

一、不动点迭代法 133

二、迭代法的局部收敛性与收敛阶 134

第三节 牛顿迭代法 136

一、Newton迭代法及其收敛性 136

二、Newton下山法 138

三、重根情况 139

四、离散Newton法（弦截法） 140

综合实习题 141

评注 144

习题五 145

第六章 常微分方程数值解法 146

第一节 引言 146

第二节 简单的单步法及基本概念 147

一、欧拉（Euler）方法 147

三、改进的Euler法 149

二、单步法的局部截断误差 149

第三节 龙格—库塔（Runge-Kutta）法 152

一、显式Runge-Kutta法的一般形式 152

二、二阶和三阶显式R-K方法 152

三、四阶R-K方法及步长的自动选择 153

第四节 单步法的收敛性与稳定性 156

一、单步法的收敛性 156

二、稳定性 157

二、阿达姆斯（Adams）显式与隐式方法 159

一、线性多步法的一般公式 159

第五节 线性多步法 159

第六节 一阶微分方程组与高阶微分方程的数值方法 161

一、一阶微分方程组的数值解法 161

二、高阶微分方程的数值解法 163

综合实习题 166

评注 169

习题六 169

习题参考答案 171

参考文献 175