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第一章 绪论 1

1.1 引言 1

1.2 常微分方程的几何积分方法及其研究现状 3

1.3 研究背景与意义 10

1.4 主要内容 13

参考文献 15

第二章 非线性动力学方程的新解法 19

2.1 引言 19

2.2 李级数解法 20

2.2.1 基本方程 20

2.2.2 常微分方程组初值问题的李级数解 22

2.2.3 李级数数值方法 23

2.2.4 N阶常微分方程的解法 25

2.2.5 算例 26

2.3 基于Laplace逆变换数值求解非线性动力学方程的新方法 28

2.3.1 数学理论 28

2.3.2 数值方法 30

2.3.3 特例——线性常微分方程的求解 31

2.3.4 算例 32

2.4 基于Laplace数值反演的新方法 34

2.4.1 关于函数的Laplace变换的数值反演方法 34

2.4.2 基于Laplace变换数值反演的非线性动力学方程的新算法 35

2.4.3 算例 38

2.5 本章小结 40

参考文献 41

第三章 广义Hamilton系统的保结构算法 42

3.1 引言 42

3.2 Poisson流形上的广义Hamilton系统的数值解法 44

3.2.1 Poisson流形及广义Hamilton系统的基本理论 44

3.2.2 广义Hamilton系统的保结构算法 46

3.2.3 广义Hamilton控制系统中算法的应用 48

3.2.4 算例 49

3.3 Hamilton系统的辛算法 50

3.3.1 Hamilton系统 50

3.3.2 Hamilton系统的辛算法 52

3.3.3 共轭算法 53

3.3.4 合成算法 54

3.3.5 分裂合成方法 55

3.4 BCH公式 56

3.4.1 指数映射的导数及其逆映射 56

3.4.2 BCH公式 58

3.4.3 对称合成高阶算法 61

3.5 耗散广义Hamilton自治系统的数值解法 67

3.5.1 基本方程 67

3.5.2 数值积分方法 68

3.5.3 数值方法在广义Hamilton控制系统的应用 70

3.5.4 算例 71

3.6 广义Hamilton(控制)系统的离散梯度积分法 72

3.6.1 系统模型 72

3.6.2 离散梯度及离散梯度积分法 73

3.6.3 算例 77

3.7 非自治耗散广义Hamilton系统的解法 79

3.7.1 广义Hamilton系统的Fer展开方法 79

3.7.2 广义Hamilton系统的Magnus级数方法 82

3.7.3 算例 86

3.8 本章小结 88

参考文献 88

第四章 耗散广义Hamilton约束系统的李群积分法 92

4.1 引言 92

4.2 Hamilton约束系统的辛积分 93

4.2.1 Hamilton约束系统 93

4.2.2 Hamilton约束系统的辛积分 96

4.2.3 Hamilton约束系统的高阶辛积分 101

4.2.4 化为无约束系统的辛积分方法 102

4.3 广义Hamilton约束系统及其变形的无约束系统 104

4.4 广义Hamilton约束系统的李群积分法 107

4.4.1 变形所得无约束广义Hamilton系统的李群积分法 107

4.4.2 约束不变量的稳定性 108

4.5 用投影技术求耗散广义Hamilton约束系统的李群积分 109

4.5.1 变约束方程为无约束方程 109

4.5.2 用投影技术求广义Hamilton约束系统的李群积分 110

4.5.3 直接构造广义Hamilton约束系统李群积分的投影方法 112

4.6 算例 112

4.7 本章小结 115

参考文献 115

第五章 流形上微分方程的解法及李群理论 117

5.1 引言 117

5.2 流形 119

5.3 李群 122

5.4 流形上的切空间与向量场 130

5.5 流形上的微分方程及其解法 144

5.5.1 流形上的微分方程 144

5.5.2 投影方法 145

5.5.3 流形上基于局部坐标的数值方法 146

5.6 李代数 147

5.7 本章小结 161

参考文献 161

第六章 李群上微分方程的积分方法 162

6.1 引言 162

6.2 流形上微分方程的RKMK方法 165

6.3 Crouch-Grossman方法 166

6.4 基于第二类典则坐标的积分方法 168

6.5 Magnus展开方法 169

6.5.1 Magnus展开式 169

6.5.2 Magnus级数展开与平面双枝树的关系 173

6.6 Fer展开式 176

6.7 本章小结 180

参考文献 180

第七章 一般非线性动力学方程的几何积分方法 182

7.1 引言 182

7.2 一般非线性动力学系统的增广动力学系统形式及其锥结构 186

7.2.1 动力学系统的增广动力学系统形式 186

7.2.2 洛仑兹群及其李代数的性质 188

7.3 基于Cayley变换构造保群格式 189

7.4 基于Pade逼近构造保群格式 191

7.5 部分旋转矢量场 195

7.6 Sn-1上的旋转矢量场 198

7.7 基于Magnus展开式的近似方法 199

7.7.1 线性常微分方程的求解方法 199

7.7.2 在Minkowski空间构造非线性微分方程的近似解 203

7.7.3 一个简单易行的四阶积分法 212

7.7.4 基于解算子的Magnus展开式构造非线性微分方程的近似解法 218

7.7.5 基于Magnus展开式的数值方法的收敛性分析 229

7.8 基于Fer展开式构造非线性动力学方程的近似解法 231

7.8.1 在Minkowski空间进行Fer展开 231

7.8.2 基于Magnus展开式的Fer型近似解 233

7.8.3 关于时间对称的Fer型积分格式 234

7.8.4 动力学方程的解算子的Fer展开式 235

7.8.5 基于Magnus展开式的另一类Fer型近似格式 236

7.8.6 基于Fer展开的数值方法的收敛性分析 237

7.8.7 算例 238

7.9 本章小结 240

参考文献 241

第八章 基于RKMK方法构造一般非线性动力学方程的数值解法 245

8.1 引言 245

8.2 李群上微分方程的RKMK方法 246

8.3 一般非线性动力学系统的李群算法 248

8.4 算例 250

8.5 几何积分方法的向后误差分析性质 253

8.5.1 向后误差分析的基本概念 253

8.5.2 几何积分方法的向后误差分析性质 255

8.5.3 向后误差分析的截断误差 255

8.6 本章小结 257

参考文献 257

第九章 非线性动力学方程的精细积分法 260

9.1 引言 260

9.2 非线性动力学方程在Minkowski空间的精细积分方法 261

9.3 增维的精细积分法 263

9.4 对称合成方法 264

9.5 精细Runge-Kutta方法 265

9.6 算例 267

9.7 本章小结 271

参考文献 274