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目录 1

第1章 线性空间与线性变换 1

1.1 线性空间 1

1.1.1 线性空间的概念及实例 1

1.1.2 基、维数与坐标 4

1.1.3 基变换与坐标变换 6

1.2 线性子空间 9

1.2.1 线性子空间的概念及实例 9

1.2.2 子空间的交与和 11

1.2.3 子空间的直和与补子空间 15

1.3 线性变换 16

1.3.1 线性变换的概念及实例 16

1.3.2 线性变换的运算 18

1.3.3 线性变换的矩阵表示 19

1.3.4 线性映射的矩阵表示 24

1.4 与线性变换有关的子空间 25

1.4.1 线性变换的值域与核 25

1.4.2 线性变换的不变子空间 27

1.5 欧氏空间与酉空间 29

1.5.1 欧氏空间的定义与性质 29

1.5.2 度量矩阵及可度量的量 31

1.5.3 标准正交基 35

1.5.4 酉空间介绍 37

习题1 39

第2章 矩阵的相似标准形 46

2.1 相似矩阵 46

2.1.1 相似矩阵及其性质 46

2.1.2 矩阵与对角矩阵相似的条件 46

2.1.3 相似不变量 49

2.2.1 λ-矩阵 50

2.2 λ-矩阵及其标准形 50

2.2.2 λ-矩阵的标准形 53

2.3 不变因子与初等因子 55

2.3.1 不变因子 55

2.3.2 初等因子 57

2.4 Jordan标准形 61

2.4.1 矩阵的Jordan标准形 61

2.4.2 Jordan标准形的求法 62

习题2 69

第3章 矩阵分解 71

3.1 矩阵的三角分解 71

3.1.1 Gauss消去法的矩阵表述 71

3.1.2 矩阵的三角分解 76

3.1.3 降秩矩阵与分块矩阵的三角分解 82

3.2.1 矩阵的QR分解 85

3.2 矩阵的QR分解 85

3.2.2 用初等旋转矩阵求矩阵的QR分解 89

3.2.3 用初等反射矩阵求矩阵的QR分解 93

3.3 矩阵的满秩分解 95

3.3.1 矩阵满秩分解的存在性 95

3.3.2 用矩阵的行最简形矩阵求满秩分解 97

3.3.3 关于行满秩或列满秩矩阵的性质 102

3.4 矩阵的奇异值分解 104

3.4.1 Schur引理及正规矩阵的分解 104

3.4.2 矩阵的奇异值分解 107

3.5 矩阵的谱分解 112

3.5.1 可对角化方阵的谱分解 112

3.5.2 正规矩阵的谱分解 118

习题3 121

4.1 矩阵多项式与最小多项式 123

4.1.1 矩阵多项式的概念与运算 123

第4章 矩阵函数与范数理论 123

4.1.2 Cayley-Hamilton定理 124

4.1.3 最小多项式的性质与求法 127

4.2 矩阵函数 137

4.2.1 预备知识 137

4.2.2 矩阵函数的概念与性质 138

4.2.3 矩阵函数的求法 140

4.3 向量的范数 158

4.3.1 向量范数的概念与性质 158

4.3.2 向量范数的连续性与等价性 164

4.4 矩阵的范数 167

4.4.1 矩阵范数的概念与性质 167

4.4.2 F-范数的性质 170

4.4.3 向量范数与方阵范数的关系 172

习题4 176

5.1.1 向量序列收敛的概念及条件 180

第5章 矩阵分析 180

5.1 向量序列的极限 180

5.1.2 一般向量空间中柯西序列与向量序列的收敛关系 183

5.2 矩阵序列的极限 184

5.2.1 矩阵序列收敛的概念及条件 184

5.2.2 收敛矩阵序列的运算性质 185

5.2.3 方阵幂收敛概念及定理 187

5.3 函数矩阵 191

5.3.1 函数矩阵的定义与运算 191

5.3.2 函数矩阵的极限与连续 192

5.4 矩阵的微分 194

5.4.1 函数矩阵的导数 194

5.4.2 纯量函数对矩阵变量的导数 198

5.4.3 函数矩阵对矩阵变量的导数 204

5.5.1 函数矩阵对变量x的积分 211

5.5 矩阵的积分 211

5.5.2 函数矩阵对矩阵变量的积分 213

习题5 214

第6章 矩阵级数 216

6.1 矩阵级数的概念和性质 216

6.2 矩阵幂级数 223

6.3 矩阵函数展开成矩阵幂级数 232

6.4 矩阵函数的一些应用 236

6.4.1 一阶线性常系数齐次微分方程组的解 236

6.4.2 一阶线性常系数非齐次微分方程组的解 242

习题6 247

第7章 广义逆矩阵 249

7.1 广义逆矩阵A- 249

7.1.1 广义逆矩阵的引入 249

7.1.2 广义逆矩阵A-的定义及存在性 250

7.1.3 广义逆矩阵A-的性质与计算 252

7.1.4 相容线性方程组的解与广义逆矩阵A- 257

7.2 广义逆矩阵A？ 259

7.2.1 广义逆矩阵A？的定义及计算 259

7.2.2 相容方程组的极小范数解与广义逆矩阵A？ 261

7.3 广义逆矩阵A？ 265

7.3.1 广义逆矩阵A？的定义与计算 265

7.3.2 不相容方程组的最小二乘解与广义逆矩阵A？ 267

7.4 广义逆矩阵A+ 271

7.4.1 广义逆矩阵A+的定义与性质 271

7.4.2 广义逆矩阵A+的一些计算方法 273

7.4.3 不相容方程组的极小最小二乘解与广义逆矩阵A+ 279

习题7 281

习题提示 282

习题答案 296

参考书目 311