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第1章 绪论 1

目录 1

1.1 数学问题的数值解法实例 2

1.2 误差概念和有效数字 4

1.2.1 误差概述 4

1.2.2 误差和有效数字 6

1.2.3 函数值的误差估计 7

1.3 算法的优化 8

习题 10

第2章 非线性方程与方程组的数值解法 13

2.1 二分法 13

2.2 一般迭代法 17

2.2.1 迭代法及收敛性 17

2.2.2 Steffensen加速收敛方法 19

2.3.1 Newton迭代法和收敛性 24

2.3 Newton切线法 24

2.3.2 代数方程的Newton迭代法 28

2.4 弦截法 30

2.5 非线性方程组的数值解法 33

2.5.1 一般迭代法 33

2.5.2 Newton迭代法 35

2.5.3 拟Newton法 36

习题 40

第3章 线性方程组的数值解法 44

3.1 Gauss消元法 45

3.1.1 Gauss顺序消元法 45

3.1.2 Gauss主元素消元法 48

3.2 矩阵的三角分解法 54

3.2.1 Gauss消元法矩阵形式 54

3.2.2 Doolittle分解 56

3.2.3 对称矩阵的Cholesky分解 58

3.2.4 三对角方程组求解的追赶法 62

3.3 矩阵求逆 64

3.4 向量和矩阵的范数 68

3.4.1 向量范数 68

3.4.2 矩阵范数 69

3.4.3 矩阵的谱半径和矩阵序列收敛性 72

3.5 病态方程组与矩阵条件数 73

3.5.1 病态方程组与扰动方程组的误差分析 73

3.5.2 矩阵条件数 75

3.6 线性方程组的迭代方法 77

3.6.1 线性方程组迭代法概述 77

3.6.2 Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法 77

3.6.3 线性方程组迭代法收敛条件 81

3.6.4 分块迭代法简介 84

3.6.5 改善精度的迭代校正法 85

习题 86

第4章 函数逼近的插值法与曲线拟合法 92

4.1 Lagrange插值法 92

4.2 Newton插值法 97

4.2.1 差商及其性质 97

4.2.2 Newton插值公式 98

4.2.3 等距节点Newton插值公式 101

4.3 Hermite插值 103

4.4 三次样条插值 108

4.4.1 分段插值 108

4.4.2 三次样条插值 108

4.5 曲线拟合的最小二乘法 112

4.5.1 最佳平方逼近 112

4.5.2 对离散数据的曲线拟合最小二乘法 116

4.5.3 矛盾方程组的最小二乘解 119

习题 121

第5章 数值积分 126

5.1 Newton-Cotes求积公式 126

5.1.1 Cotes系数 126

5.1.2 Newton-Cotes公式截断误差及代数精度 129

5.2 复化求积公式 131

5.2.1 定步长复化求积公式 132

5.2.2 变步长求积公式 133

5.3 Romberg求积公式 137

5.3.1 外推法基本思想 137

5.3.2 Romberg求积算法 138

5.4 Gauss求积公式 141

5.4.1 正交多项式 142

5.4.2 Gauss型求积公式一般理论 146

5.4.3 Gauss-Legendre求积公式 148

5.4.4 Gauss-Chebyshёv求积公式 150

5.4.5 一般权函数下Gauss型求积公式 151

5.5 数值微分 153

5.5.1 Taylor展开式方法 153

5.5.2 数值微分的插值方法 155

5.5.3 数值微分的隐式格式 157

习题 160

第6章 常微分方程数值解法 164

6.1 初值问题的Euler方法 164

6.1.1 Euler方法 164

6.1.2 误差概述 166

6.1.3 数值稳定性分析 168

6.2 Runge-Kutta方法 170

6.2.1 二阶R-K方法 171

6.2.2 四阶R-K方法 172

6.2.3 R-K法的稳定性 174

6.2.4 一般显式单步法的收敛性 175

6.2.5 隐式R-K法 177

6.3 线性多步法 178

6.3.1 基于数值积分的方法 179

6.3.2 基于Taylor展开式的方法 182

6.4 一阶常微分方程组数值解法 185

6.4.1 解一阶常微分方程组的R-K方法 186

6.4.2 刚性方程组 190

6.5 常微分方程边值问题的数值解法 195

6.5.1 差分方程的建立 195

6.5.2 差分方程的可解性与收敛性 198

6.5.3 打靶法 201

习题 204

第7章 矩阵特征值和特征向量的数值解法 208

7.1 幂法 208

7.1.1 幂法原理及实用幂法 208

7.1.2 幂法的加速收敛方法 213

7.1.3 逆幂法 217

7.2 Jacobi法 220

7.2.1 古典Jacobi方法 220

7.2.2 Jacobi法的改进 225

7.3 QR算法 227

7.3.1 Householder变换 227

7.3.2 矩阵的QR分解 230

7.3.3 QR算法 231

习题 248

主要参考文献 251