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目录 1

第1章 向量 空间解析几何 1

1.1 向量 1

1.1.1 引言 1

1.1.2 向量概念 3

1.1.3 向量的线性运算 4

1.1.4 内积 投影 7

练习1～20 10

1.2 空间直角坐标系 11

1.2.1 向量沿坐标轴的分解 12

1.2.2 向量代数 13

1.2.3 外积 17

1.2.4 混合积 19

练习21～42 21

1.3.1 平面 22

1.3 平面与直线 22

1.3.2 直线 28

练习43～73 34

1.4 曲面与曲线 37

1.4.1 一些特殊的曲面 37

1.4.2 二次曲面 41

1.4.3 空间曲线 47

练习74～90 50

习题1 52

第2章 多元函数微分学 54

2.1 多元函数 54

2.1.1 多元函数概念 54

2.1.2 二元函数的几何表示 57

2.1.3 二元函数的极限与连续 60

练习1～16 65

2.2 梯度 66

2.2.1 偏导数 梯度 66

2.2.2 全微分 曲面的切平面与法线 71

2.2.3 方向导数 78

练习17～42 82

2.3 微分法 84

2.3.1 链式法则 84

2.3.2 微分形式不变性 89

2.3.3 隐函数微分法 空间曲线的切线与法平面 90

练习43～66 99

2.4 泰勒公式 101

2.4.1 高阶偏导数 101

2.4.2 二元函数的泰勒公式 109

练习67～75 111

2.5 极值 112

2.5.1 局部相对极值 112

2.5.2 最大最小值问题 条件极值 118

2.5.3 拉格朗日乘子法 121

2.5.4 最小二乘法 125

练习76～86 130

习题2 131

第3章 二重积分 135

3.1 二重积分概念 135

3.1.1 两个实际问题 135

3.1.2 定义 137

3.1.3 简单性质 139

练习1～8 140

3.2 二重积分的计算与应用 141

3.2.1 化二重积分为二次积分 142

3.2.2 利用极坐标计算二重积分 149

3.2.3 两个物理应用 154

练习9～30 157

3.3 曲面面积 第一型曲面积分 161

3.3.1 曲面面积 161

3.3.2 曲面质量 164

3.3.3 第一型曲面积分 167

练习31～39 173

习题3 174

第4章 平面曲线积分 176

4.1 第一型平面曲线积分 176

4.1.1 概念 176

4.1.2 计算与应用 180

练习1～9 184

4.2 第二型平面曲线积分 185

4.2.1 平面向量场 185

4.2.2 第二型曲线积分的概念 187

4.2.3 计算 190

4.2.4 第二型曲线积分的另一形式 194

练习10～21 195

4.3 格林公式 197

4.3.1 格林公式 197

4.3.2 曲线积分与路径无关的条件 204

4.3.3 恰当微分 207

4.3.4 对平面场论的一个应用 214

4.3.5 格林公式的向量形式 215

练习22～36 217

习题4 220

第5章 多重积分 222

5.1 多重积分 222

5.1.1 三重积分的概念 222

5.1.2 三重积分的计算 226

5.1.3 多重积分的计算 238

练习1～12 241

5.2 用柱面坐标和球面坐标计算三重积分 243

5.2.1 柱面坐标和球面坐标 243

5.2.2 用柱面坐标和球面坐标计算三重积分 245

练习13～24 257

5.3 重积分的变量置换法 258

5.3.1 R2→R2的映射 259

5.3.2 雅可比式的几何意义 261

5.3.3 重积分变量变换公式 263

练习25～35 270

习题5 272

第6章 第二型曲面积分 积分公式 275

6.1 第二型曲面积分 275

6.1.1 第二型曲面积分的概念 275

6.1.2 第二型曲面积分的计算 279

练习1～7 284

6.2 奥-高公式 285

6.2.1 奥-高公式 285

6.2.2 散度 288

练习8～15 289

6.3 斯托克斯公式 291

6.3.1 空间曲线积分 291

6.3.2 旋度 294

6.3.3 斯托克斯公式 295

练习16～24 301

习题6 302

第7章 傅里叶级数 305

7.1 引言 305

7.1.1 周期函数 305

7.1.2 三角函数系的正交性 307

练习1～3 308

7.2 周期函数的傅里叶级数展开 309

7.2.1 周期2π的函数 309

7.2.2 周期2l的函数 315

练习4～10 318

7.3 有限区间上函数的傅里叶级数展开 319

练习11～12 325

习题7 325

练习与习题参考答案 327

参考书目 350