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绪言 1

第一章 函数 2

1.1 实数与数轴 2

1.2 数集与数集之界 2

1.3 区间与邻域 3

1.4 变量与函数 4

1.5 函数之表达 6

1.6 数列 11

1.7 映射 12

1.8 Dedkind性质的证明 13

第一章练习 14

第二章 极限 17

2.1 极限的直观描述 17

2.2 极限的不等式描述 18

2.3 限制性极限 23

2.5 如何求极限 25

2.4 极限可不存在 25

2.6 存在定理 30

2.7 函数之连续性 34

第二章练习 40

第三章 导数 45

3.1 一些例子 45

3.2 导数的定义 46

3.3 单侧导数 48

3.4 求导数的法则(微分法) 49

3.5 复合函数的导数 51

3.6 局部最值 53

3.7 变化率 57

3.8 反函数 60

3.9 反三角函数 63

3.10 高阶导数 65

3.11 无穷小量及微分 68

第三章练习 70

4.1 Rolle定理 75

第四章 中值定理 75

4.2 Lagrange定理 76

4.3 函数之凸性 78

4.4 Cauchy定理及l＇Hospital法则 80

4.5 图象的描绘 84

第四章练习 89

第五章 指数函数与对数函数 93

5.1 指数函数 93

5.2 对数函数 98

5.3 对数求导法 101

5.4 复值指数函数，Euler公式 102

第五章练习 104

第六章 向量与向量值函数 107

6.1 Gibbs向量 107

6.2 内积 111

6.3 Gibbs向量之分解 114

6.4 向量值函数及一些基本概念 116

6.5 应用 119

第六章练习 124

第七章 反微分法 127

7.1 基本概念 127

7.2 分项积分法 129

7.3 分部积分法 130

7.4 置换积分法 131

7.5 复值函数之积分 133

7.6 有理函数之积分 137

7.7 一些可以反微分的函数类 139

第七章练习 144

第八章 微分方程初阶 147

8.1 引言 147

8.2 可分离变量的微分方程 147

8.3 齐次与线性微分方程 150

8.4 微分方程之降阶 151

8.5 二阶线性微分方程 152

8.6 线性微分方程之另一解法 157

8.7 杂例 160

第八章练习 164

第九章 积分 167

9.1 引言 167

9.2 集合的测度 168

9.3 可测集 171

9.4 可测函数 176

9.5 非负可测函数之Lebesgue积分 181

9.6 可积性与可积函数 183

9.7 单调收敛定理及逼近定理 186

9.8 积分的性质 188

9.9 任意可测函数的Lebesgue积分 192

9.10 收敛定理(LI-IL定理) 197

9.11 微积分基本定理及Newton-Leibniz公式 201

9.12 分部及置换积分 203

9.13 一些计算积分的辅助性方法 206

9.14 积分元素法 209

9.15 一些历史注记 213

第九章练习 214

第十章 无穷级数 221

10.1 一般概念 221

10.2 非负项级数 223

10.3 任意项级数 227

10.4 函数项级数，可逐项求积分性 228

10.5 一致收敛 230

10.6 有关一致收敛的一些性质 233

10.7 幂级数 236

10.8 函数展开为幂级数，Taylor级数 239

10.9 一些基本展开式 241

10.10 其他展开技巧 242

10.11 一些应用 244

10.12 三角级数 246

10.13 L2空间 247

10.14 正交性与完备性 251

10.15 L2空间中的Fourier展开 253

10.16 一些古典结果 256

第十章练习 261

第十一章 多元函数微分学 267

11.1 多元函数 267

11.2 等值集 269

11.3 f(P)之极限与连续 272

11.4 偏导数 277

11.5 微分及方向导数 280

11.6 复合函数 285

11.7 隐函数 286

11.8 切平面与法向量 302

11.9 局部最值 303

11.10 条件最值 304

11.11 一种抽象的观点 307

第十一章练习 310

第十二章 多元函数的积分学 318

12.1 二重积分 318

12.2 二重积分的计算(Tonelli定理) 320

12.3 积分元素法 332

12.4 置换公式 343

12.5 三重积分 346

12.6 含参变量的积分 351

12.7 曲线积分 354

12.8 曲面积分 356

12.9 环量 359

12.10 通量 362

12.11 一些有用的公式 366

12.12 环量与路径无关的条件 380

12.13 更一般的积分理论 385

第十二章练习 393

练习答案 399

参考文献 425