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第一章 预备知识 1

1 集合的运算 1

一、集合的代数运算 1

二、集合的极限运算 4

三、常用的集族 5

2 集合的基数 7

一、基数的概念 7

二、可数集 9

三、不可数集 11

3 集合与函数的关系 14

第二章 点集的拓扑概念 20

1 距离空间中的拓扑概念 20

一、？，E’，？的性质 24

二、开集与闭集的性质 24

2 Rn中开集、闭集的构造，Cantor集 29

一、开集的构造 29

二、Cantor集 30

3 覆盖 33

一、函数的连续性 35

4 连续性 35

二、映射的连续性 41

第三章 测度论 45

1 从体积到外测度 45

一、Lebesgue外测度 45

二、抽象外测度 50

2 Lebesgue测度 52

3 Lebesgue可测集的特征性质 59

二、抽象测度 65

一、距离测度 65

4 抽象测度 65

第四章 可测函数 72

1 可测函数的定义及其基本性质 72

一、基本概念 72

二、可测函数的基本性质 75

2 可测函数列的收敛性 83

一、不同意义下的收敛性 83

二、几乎处处收敛与几乎一致收敛的关系 84

三、依测度收敛与几乎处处收敛的关系 86

四、依测度收敛的其它性质 89

3 可测函数的结构(Lusin定理) 90

第五章 积分论 94

1 Lebesgue积分的定义 94

一、从(R)积分到(L)积分 94

二、(L)积分的逼近定义 98

三、用测度定义积分 101

一、积分区域的可加性 103

2 (L)积分的初等性质 103

二、零集上的积分 105

三、单调性 105

四、线性性质 107

五、绝对可积性 109

六、Chebyshev不等式和唯一性定理 109

七、积分的绝对连续性 111

八、可积函数的逼近性质 112

3 (L)积分列的极限定理 117

一、基本的极限定理 118

二、极限定理的应用举例 122

4 (L)积分与(R)积分的关系，(L)积分的推广 131

一、(R)可积的充要条件 131

二、(L)可积与(R)可积的关系 133

三、(L)积分的推广 136

5 Fubini定理 139

一、Fubini定理 140

二、Fubini定理的逆命题 146

三、抽象Fubini定理 147

一、Vitali型覆盖引理 150

1 覆盖与极大函数 150

第六章 微分论 150

二、极大函数 152

2 Lebesgue微分定理 154

3 单调函数 158

4 有界变差函数和绝对连续函数 163

一、有界变差函数 163

二、绝对连续函数 171

5 不定积分 174

参考文献 178