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第1章 函数、极限与连续 1

1.1集合 1

1.1.1集合的概念 1

1.1.2集合之间的运算 2

1.1.3区间和邻域 2

习题1.1 3

1.2函数及其特性 3

1.2.1映射 3

1.2.2函数 4

1.2.3函数的基本性质 7

习题1.2 9

1.3反函数与复合函数 9

1.3.1反函数 9

1.3.2复合函数 10

习题1.3 11

1.4初等函数 11

1.4.1基本初等函数 11

1.4.2初等函数 15

1.4.3双曲函数和反双曲函数 15

习题1.4 16

1.5数列极限 16

1.5.1数列的基本概念 17

1.5.2数列的极限 18

1.5.3收敛数列的性质 20

习题1.5 21

1.6函数的极限 22

1.6.1当x→∞时函数f（x）的极限 22

1.6.2当x→x0时函数f（x）的极限 23

1.6.3函数极限的性质 25

习题1.6 25

1.7两种特殊的量——无穷小量与无穷大量 26

1.7.1无穷小量 26

1.7.2无穷大量 26

1.7.3无穷小量与无穷大量的关系 27

习题1.7 28

1.8极限的运算法则 28

1.8.1无穷小的运算法则 28

1.8.2函数极限的四则运算法则 29

1.8.3复合函数的极限运算法则 31

习题1.8 32

1.9极限存在准则与两个重要极限 32

1.9.1极限的夹逼准则及应用 32

1.9.2单调有界准则及应用 34

习题1.9 37

1.10无穷小的比较 38

1.10.1无穷小比较的定义 38

1.10.2无穷小的等价代换——简称等价代换 39

习题1.10 41

1.11函数的连续与间断 41

1.11.1函数在一点连续的概念 41

1.11.2函数在区间上连续的概念 42

1.11.3连续函数的运算性质及初等函数的连续性 43

1.11.4函数的间断点及其分类 44

习题1.11 46

1.12闭区间上连续函数的性质 46

1.12.1最大值、最小值定理 46

1.12.2有界性定理 47

1.12.3介值定理 47

1.12.4一致连续性 48

习题1.12 49

本章小结 49

一、内容概要 49

二、解题指导 49

复习题1 50

第2章 导数与微分 52

2.1函数的瞬时变化率——导数的概念 52

2.1.1概念引入 52

2.1.2导数的定义 54

2.1.3函数的可导性与连续性的关系 56

2.1.4几个基本初等函数的导数公式的推导 57

习题2.1 58

2.2导数的运算法则 59

2.2.1导数的四则运算法则 59

2.2.2反函数和复合函数的求导法则 61

2.2.3导数基本公式表 65

习题2.2 66

2.3高阶导数 67

2.3.1高阶导数的概念 67

2.3.2高阶导数的求导运算法则 69

习题2.3 70

2.4隐函数以及由参数方程确定的函数的求导法 70

2.4.1隐函数求导法 70

2.4.2由参数方程确定的函数的求导法 74

2.4.3相关变化率 77

习题2.4 78

2.5函数的微分及其应用 79

2.5.1微分的定义 79

2.5.2可微与可导的关系 80

2.5.3微分的几何意义 80

2.5.4微分基本公式和运算法则 81

2.5.5复合函数的微分—微分的形式不变性 81

2.5.6微分在近似计算中的应用 82

习题2.5 83

本章小结 84

一、内容概要 84

二、解题指导 84

三、数学史与人物介绍 84

复习题2 86

第3章 微分中值定理与导数的应用 88

3.1微分中值定理 88

3.1.1罗尔中值定理 88

3.1.2拉格朗日中值定理 91

3.1.3柯西中值定理 94

习题3.1 96

3.2洛必达法则 97

3.2.1 0/0型未定式的洛必达法则 97

3.2.2∞/∞型未定式的洛必达法则 99

3.2.3其他类型的未定式 100

3.2.4注意事项举例 101

习题3.2 102

3.3泰勒公式 103

3.3.1问题的提出 103

3.3.2系数的选取 103

3.3.3误差的确定 104

3.3.4泰勒中值定理 105

习题3.3 109

3.4函数性态的研究 109

3.4.1函数的单调性 109

3.4.2函数的极值 111

3.4.3函数的最大（小）值 113

3.4.4曲线的凹凸性及拐点 115

习题3.4 119

3.5函数图形的描绘 121

3.5.1曲线的渐近线 121

3.5.2函数图形的描绘 121

习题3.5 123

3.6平面曲线的曲率 124

3.6.1弧微分 124

3.6.2曲率及其计算公式 124

3.6.3曲率圆与曲率半径 127

习题3.6 128

3.7方程的近似解 129

3.7.1二分法 129

3.7.2牛顿迭代法 130

习题3.7 133

本章小结 133

一、内容概要 133

二、解题指导 134

三、人物介绍 134

复习题3 137

第4章 不定积分 140

4.1不定积分的概念 140

4.1.1原函数与不定积分的概念 140

4.1.2基本积分表 143

4.1.3不定积分的性质 144

习题4.1 146

4.2换元积分法 147

4.2.1第一类换元法 147

4.2.2第二类换元法 153

习题4.2 158

4.3分部积分法 159

习题4.3 162

4.4有理函数积分法 163

4.4.1有理函数的积分 163

4.4.2可化为有理函数的积分 166

习题4.4 169

本章小结 169

一、内容概要 169

二、解题指导 169

复习题4 170

第5章 定积分 172

5.1定积分的概念与性质 172

5.1.1中学基础知识回顾 172

5.1.2定积分的定义 175

5.1.3定积分的基本性质 178

习题5.1 184

5.2微积分基本定理 185

5.2.1积分上限的函数 186

5.2.2微积分基本定理 187

习题5.2 191

5.3定积分的换元积分法与分部积分法 195

5.3.1定积分的换元积分法 195

5.3.2定积分的分部积分法 199

5.3.3定积分第二中值定理 201

习题5.3 202

5.4反常积分 204

5.4.1无限区间上的反常积分 204

5.4.2无界函数的反常积分 206

5.4.3反常积分的柯西主值 208

习题5.4 208

5.5反常积分的收敛判别法 209

5.5.1无限区间上反常积分的敛散性判别法 209

5.5.2无界函数的反常积分的敛散性判别法 214

习题5.5 215

本章小结 216

一、内容概要 216

二、解题指导 216

三、历史人物介绍 217

复习题5 218

第6章 定积分的应用 221

6.1定积分的微元法 221

6.2定积分的几何应用 222

6.2.1平面图形的面积 222

6.2.2体积 226

6.2.3平面曲线的弧长 230

6.2.4旋转曲面的面积 232

习题6.2 233

6.3定积分的物理应用 234

6.3.1变力沿直线做功 234

6.3.2液体的压力 237

6.3.3引力 238

6.3.4质量 239

习题6.3 239

6.4定积分的经济应用 240

6.4.1总产量 240

6.4.2最大利润 240

6.4.3消费过剩 241

习题6.4 241

本章小结 242

一、内容概要 242

二、解题指导 242

复习题6 242

第7章 常微分方程 244

7.1微分方程的基本概念 244

习题7.1 247

7.2可分离变量的一阶方程与齐次方程 248

7.2.1可分离变量的方程 248

7.2.2齐次方程 251

7.2.3可化为齐次的方程 254

习题7.2 255

7.3一阶线性微分方程 256

7.3.1一阶线性方程 256

7.3.2伯努利方程 260

习题7.3 261

7.4可降阶的高阶微分方程 262

7.4.1 y（n）=f（x）型的微分方程 263

7.4.2y″=f（x，y′）型的微分方程 263

7.4.3 y″=f（y，y′）型的微分方程 264

习题7.4 268

7.5高阶线性微分方程 268

7.5.1二阶线性微分方程举例 268

7.5.2线性微分方程的解的结构 270

7.5.3常数变易法 272

习题7.5 275

7.6常系数线性齐次微分方程 275

习题7.6 281

7.7常系数线性非齐次微分方程 281

7.7.1 f（x） =eλxPm （x）型 282

7.7.2 f（x）=eλx[Pl（x）cosωx＋Pn（x）sinωx]型 284

习题7.7 286

7.8欧拉方程 286

习题7.8 288

本章小结 288

一、内容概要 289

二、解题指导 289

三、数学史与人物介绍 290

复习题7 291

第8章 MATLAB软件与一元函数微积分 294

8.1 MATLAB工作环境与编程 294

8.1.1 MATLAB的安装与启动 294

8.1.2 MATLAB工作环境 294

8.1.3 MATLAB的帮助功能 295

8.1.4对输入指令的编辑及部分通用指令 296

8.1.5 MATLAB的基本设计 297

8.2一元函数微分学实验 297

8.2.1曲线绘图 297

8.2.2 MATLAB求函数极限 301

8.2.3 MATLAB求导数 301

8.2.4 MATLAB求极值和最值 302

8.2.5 MATLAB求方程的根 304

8.2.6常微分方程符号求解 305

8.3一元函数积分学实验 306

8.3.1 MATLAB求不定积分 307

8.3.2 MATLAB求数值积分 307

本章小结 311

复习题8 312

附录Ⅰ二阶和三阶行列式简介 313

附录Ⅱ几种常用的曲线 317

附录Ⅲ积分表 319

附录Ⅳ部分常用数学公式 329

一、三角函数中的常用公式 329

习题答案与提示 332